Математика 5-6 классы. 2. Сложение и вычитание натуральных чисел


 

Законы сложения

Чтобы сложить числа 5 и 3, можно рассуждать следующим образом. Рассмотрим ряд натуральных чисел. Отметим в этом1 ряду число 5, отсчитаем от него вправо три числа. Получится число 8, называемое суммой чисел 5 и 3: 8 = 5 + 3.

Но можно отметить в натуральном ряду сначала число 3* а затем от него отсчитать вправо пять чисел. Получится снова число 8, называемое суммой чисел 3 и 5:



8 = 3 + 5.



Таким образом, сумма не изменяется от перестановки слагаемых:



5 + 3 = 3 + 5.



Точно так же для любых натуральных чисел с и 6 справедливо равенство



a + b = b + a,

выражающее переместительный или коммутативный закон сложения:

От перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Сложим теперь три числа 3, 2, 4. Для этого, применяя уже известный способ, отметим в натуральном ряду число 3, затем отсчитаем от него вправо 2 числа и 4 числа. Получится число 9.

 Следовательно,


(3 + 2) + 4 = 9.



Отметим теперь в натуральном ряду число 3, отсчитаем от него 2 + 4 = 6 чисел. Получится тоже 9: 3 + + (2 + 4) = 9.

Таким образом, мы получили равенство

 

(3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4),



показывающее, что вместо того, чтобы к (3 + 2) прибавить 4, можно к 3 прибавить (2 + 4), а результат будет тот же.

Точно так же для любых натуральных чисел а, b и с справедливо равенство



(а + 6) + с=а+ (6 + с),



выражающее сочетательный или ассоциативный закон сложения:

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

Отметим, что сумму трех слагаемых можно записать и без скобок:



3 + 2 + 4 = (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4).



Для любого натурального числа а справедливы равенства



а + 0 = а,

О + а = а,

0 + 0 = 0.

В сумме нескольких слагаемых можно переставлять слагаемые и заключать их в скобки любым образом. Например, верны равенства



1+2+3=3+2+ 1,

1 + 2 + 3 + 4 = (1 + 2) + (3 + 4).


Докажем эти равенства, применяя на каждом этапе рассуждений переместительный или сочетательный закон сложения:



1 + 2 + 3= 1 + (2 + 3)=1 + (3 + 2) = (3 + 2)+1 = 3 + 2+1,

1 + 2 + 3 + 4 = (1 + 2 + 3) + 4 = (1 + 2) + (3 + 4).

 

Рассмотренные законы сложения широко используют для упрощения вычислений.

Пример. 23+ 118+ 17 = (23+ 17)+ 118 = 40+ 118  = 158.

 

 

Вычитание

 

Пусть а и b—неотрицательные целые числа и а больше или равно b (пишут а≥b).

Разностью чисел а и b называется такое число, обозначаемое а—b, которое при сложении с b дает а, т. е.



(а—b) + b = а или а—b + b — a.



Число а называется уменьшаемым, b—вычитаемым.

Пример. Из 9 вычесть 6.

Очевидно, что 9—6 = 3, так как 3 + 6 = 9.

Покажем это с помощью натурального ряда.

Отметим в натуральном ряду число 9 и отсчитаем от него влево 6 чисел. Получится число 3: 9—6 = 3.

Если к 3 прибавить 6, т. е. отсчитать от числа 3 вправо 6 чисел, то получится число 9:



3 + 6 = 9 или (9—6)+ 6 = 9.

 

 

 

Сложение и вычитание чисел столбиком



При сложении и вычитании однозначных чисел надо помнить таблицы сложения и вычитания. Сложение и вычитание многозначных чисел выполняют по разрядам, используя переместительный, сочетательный и распределительный законы. Обычно сложение и вычитание проводят столбиком, записывая числа одно под другим так, чтобы цифры одинаковых разрядов были написаны друг под другом, и начинают действия с единиц.

Если сложение в каком-либо разряде дает в результате число, большее 10, то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего разряда.

Пример 3.

45+79 = 4 • 10+5+7 • 10+9 = (4+7) • 10+ +(5 + 9) = 11 • 10 + 14 — 11 • 10+10 • 1 + 4=(11 + 1) • 10+4=  120 + 4=124.

Если в каком-либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то нужно «занять» одну единицу в следующем разряде уменьшаемого.

Пример 4 • 72—9=7 • 10+2—9=6 • 10+ 10 + 2—9 =6 • 10 +(12—9) = 60 +3 = 63.

Это записывают, отмечая точкой разряд, в котором «занята» единица:

Материалы

-->

Яндекс.Метрика