Математика 5-6 классы. Урок 37. Координатная плоскость

Подробности

Категория: Математика 5-6 классы

Декартова система координат на плоскости

Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом друг к другу (такие прямые называются взаимно перпендикулярными),—ось х и ось у— с точкой пересечения О, являющейся начальной точкой каждой из этих осей. Единичные отрезки осей возьмем равными друг другу.

Говорят, что этим на плоскости определена прямоугольная система координат хОу. Ее называют еще декартовой системой координат по имени французского математика и философа Декарта, введшего в математику это важное понятие.

Ось х называют еще осью абсцисс, а ось у—осью ординат. Точку О пересечения осей координат называют началом системы координат. Плоскость, на которой задана декартова система координат, называют координатной плоскостью.

Обычно ось абсцисс рисуют в виде горизонтальной прямой, направленной вправо, а ось ординат—в виде вертикальной прямой, направленной вверх (рис. 9.9).

Буквы х, у мы иногда будем заменять другими буквами z, t, s, u, ...

Пусть A — произвольная точка координатной плоскости. Проведем через точку А прямые, параллельные осям координат.

Прямая, параллельная оси у, пересечет ось х в точке A₁, а прямая, параллельная оси х, пересечет ось у в точке А₂. Координата точки A₁ на оси х называется абсциссой точки А. Координата точки А₂ на оси у называется ординатой точки А. Абсцисса х и ордината у точки А называются координатами точки А.

Координаты точки записывают в скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: А (х; у), причем на

первом месте пишется абсцисса, а на втором месте—ордината. Например, точка А, изображенная на рис. 9.10, имеет абсциссу х = 4 и ординату у = 3, поэтому пишут: А (4; 3).

На рис. 9.11 изображены прямоугольная система координат хОу и точки 0(0; 0), А(2; 3), В(—1; 1), С(—3; -2), D(1; 0), Е(2; -2), F (0; 4).

Прямоугольная система координат хОу разделяет плоскость на четыре части, называемые координатными углами или координатными четвертями.

Мы обозначим их римскими цифрами I, II, III, IV (рис. 9.12).

Если исключить точки, лежащие на осях координат, то можно сказать, что точки угла I имеют координаты (х; у) такие, что x > 0, у > 0;

точки угла II имеют координаты (x; у) такие, что

x <0, у> 0;

точки угла III имеют координаты (х; у) такие, что

x <о, у< 0;

точки угла IV имеют координаты (х; у) такие, что

x  > 0, у< 0.

Например, точка В (—1; 1) на рис. 9.11 принадлежит углу II; точка Е (2; —2) принадлежит углу IV. Легко видеть, что абсцисса точки равна нулю тогда и только тогда, когда эта точка лежит на оси у; ордината точки равна нулю тогда и только тогда, когда эта точка лежит на оси х.

Например, на рис. 9.13 точка Е лежит на оси у и имеет абсциссу х = 0; точка F лежит на оси х и имеет ординату у — 0.

Напомним еще, что точка О—начало координат. Она имеет обе координаты, равные нулю.

Важно отметить, что если на плоскости задана прямоугольная система координат, то каждой точке А плоскости приводится в соответствие пара чисел (х; у) — пара координат точки A, и в то же время произвольную пару чисел (х; у) можно рассматривать как пару координат некоторой точки А плоскости.

Нужно иметь в виду, что если пара состоит из разных чисел, то, поменяв эти числа местами, мы получим другую пару, определяющую другую точку плоскости.

Поэтому пару координат (х; у) точки А называют упорядоченной парой чисел. Абсциссу х точки А называют еще первой координатой, а ординату у—второй координатой.

Итак, если на плоскости задана прямоугольная система координат хОу, то

1)    каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (пара координат точки);

2)    разным точкам плоскости поставлены в соответствие разные упорядоченные пары чисел;

3)    каждая упорядоченная пара чисел соответствует некоторой (одной в силу пункта 2) точке плоскости.

Замечание. Точки (х; у), где х и у—рациональные числа, называют рациональными точками координатной плоскости.

Рациональные точки полностью не заполняют плоскость, между рациональными точками на плоскости располагаются еще и точки с иррациональными координатами.