Поверхности

Подробности

Категория: Основы начертательной геометрии

Основные понятия и определения
Поверхности нелинейчатые
Поверхности линейчатые
Поверхности вращения
Винтовые линейчатые поверхности

Многое, что окружает нас в жизни, если смотреть с позиции геометрии, - это линии и поверхности простых и сложных форм. Поверхности широко используются в различных областях науки и техники при создании очертаний различных технических форм или как объекты инженерных исследований.

 Основные понятия и определения

Поверхность как объект инженерного исследования может быть задана следующими основными способами: а) уравнением; б) каркасом; в) определи гелем; г) очерком.

Составлением уравнений поверхностей занимается аналитическая геометрия; она рассматривает поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению вида F (х,у, z) = 0.

В начертательной геометрии поверхность на чертеже задается каркасом, определителем, очерком.

При каркасном способе поверхность задастся совокупностью некоторого количества линий, принадлежащих поверхности. В качестве линий, образующих каркас, как правило, берут семейство линий, получающихся при пересечении поверхности рядом параллельных плоскостей. Этот способ используется при проектировании кузовов автомобилей, в самолето - и судостроении, в топофафии и т. п.

Поверхность, образованная движущейся в пространстве линией, на чертеже может быть задана определителем поверхности.

Определителем поверхности называется совокупность геометрических фигур и связей между ними. позволяющих однозначно образовать поверхность в пространстве и задать ее на чертеже.

Способ образования поверхности движущейся в просфанстве линией называют кинематическим.

Линию, образующую при своем движении в пространстве данную поверхность называют образующей (производящей).

Образующая при своем движении может изменять свою форму или оставаться неизменной. Закон перемещения образующей можно, в частности, задать неподвижными линиями, на которые при своем движении опирается образующая. Эти линии называются направляющими.

На чертеже при задании поверхности ее определителем строятся проекции направляющих линий, указывается, как находятся проекции образующей линии. Построив ряд положений образующей линии, получим каркас поверхности. Пример образования поверхности кинематическим способом показан на рис. 96.

В качестве образующей а этой поверхности взята плоская кривая. Закон перемещения образующей задан двумя направляющими m и n и плоскостью а. Образующая а скользит по направляющим, все время оставаясь параллельной плоскости a.

Различают геометрическую и алгоритмическую часть определителя поверхности. Определитель имеет следующую форму записи Ф( Г ) [ А ], где Ф - обозначение поверхности; ( Г ) -геометрическая часть определителя, в ней перечисляются все геометрические фигуры, участвующие в образовании поверхности и задании ее на чертеже; [А ] - алгоритмическая часть определителя - в ней записывается алгоритм формирования поверхности.

Определитель поверхности выявляется путем анализа способов образования поверхности или се основных свойств. В общем случае одна и та же поверхность может быть образована несколькими способами, поэтому может иметь несколько определителей. Обычно из всех способов образования поверхности выбирают простейший. Например, боковая поверхность прямого кругового цилиндра может быть образована четырьмя способами (рис. 97):

а)    как след, оставляемый в пространстве прямой а при ее вращении вокруг оси m (рис. 97,а).

Определитель поверхности - Ф ( а,m ) [ A₁]:

б)    как след, оставляемый в пространстве кривой линией b при ее вращении вокруг оси m (рис. 97,6).

Определитель поверхности - Ф ( b,m ) [ A₂];

в)    как след, оставляемый в пространстве окружностью с при поступательном перемещении ее центра О вдоль оси m. при этом плоскость окружности все время остается перпендикулярной к этой оси (рис. 97,в).

Определитель поверхности - Ф ( а,m ) [ A₃]:

г)  как огибающую всех положений сферической поверхности р постоянного радиуса, центр которой перемещается по оси m (рис.97,г).

Определитель поверхности -Ф ( p,m ) [ A₄].

Наиболее простым из рассматриваемых будет определитель Ф ( а,m ) [ A₁].

Задание поверхности на чертеже каркасом или определителем не всегда обеспечивает наглядность ее изображения. В некоторых случаях поверхность целесообразнее задавать ее очерком.

Очерком поверхности называется проекция проецирующей цилиндрической поверхности, огибающей заданную поверхность.

По известному уравнению поверхности или се определителю, или очерку всегда можно построить каркас поверхности.

Многообразие поверхностей требует их систематизации. Для поверхностей, образованных кинематическим способом в основу систематизации положен их определитель.

В зависимости от вида образующей поверхности разделяются на два класса:

класс 1 - поверхности нелинейчатые (образующая - кривая линия);

класс 2 - поверхности линейчатые (образующая - прямая линия).

 Поверхности нелинейчатые

Поверхности нелинейчатые подразделяют на поверхности с образующей переменного вида (изменяющей свою форму в процессе движения) и на поверхности с образующей постоянного вида.

Нелинейчатые поверхности с образующей переменного вида

К нелинейчатым поверхностям с образующей переменного вида относятся:

1. Поверхность общего вида. Такая поверхность образуется перемещением образующей переменного вида а по криволинейной направляющей т (рис. 98).

2. Каналовая поверхность. Эта поверхность образуется движением плоской замкнутой линии, плоскость которой определенным образом ориентирована в пространстве (рис. 99).

Площадь, ограниченная образующей, монотонно изменяется в процессе ее движения но направляющей. Например, каналовую поверхность имеет переходный участок, соединяющий два трубопровода разной формы.

3. Циклическая поверхность - частный случай каналовой поверхности, когда образующая - окружность, радиус которой монотонно изменяется (рис. 100).

Примером циклической поверхности может быть корпус духового музыкального инструмента.

 Нелинейчатые поверхности с образующей постоянного вида

К нелинейчатым поверхностям с образующей постоянного вида относятся:

1. Поверхность общего вида. Такая поверхность может быть образована движением произвольной кривой линии а по направляющей m (рис. 101).

2. Трубчатая поверхность. Образующей трубчатой поверхности является окружность постоянного радиуса. Плоскость окружности при ее движении остается перпендикулярной к направляющей (рис. 102).

Примером трубчатой поверхности может быть поверхность проволоки круглого сечения.

Поверхности линейчатые

Линейчатые поверхности образуются движением прямой (образующей) по заданному закону. В зависимости от закона движения образующей получаем различные линейчатые поверхности.

Линейчатые поверхности с тремя направляющими

1. Поверхность косого цилиндра. Такая поверхность может быть образована движением прямолинейной образующей по трем криволинейным направляющим (рис. 103).

2. Поверхность дважды косого цилиндроида. Эта поверхность образуется в том случае, когда две направляющие кривые, а третья -прямая линия (рис. 104).

3. Поверхность дважды косого коноида получается в том случае, когда одна из направляющих - кривая, а две других - прямые линии (рис. 105).

4. Поверхность однополостного гиперболоида образуется в случае, когда направляющие - три скрещивающиеся прямые, параллельные одной плоскости. Пример. Найти недостающие проекции точек А" и В' принадлежащих поверхности однополостного гиперболоида (рис. 106).

P e ш е н и е. Для определения недостающей проекции точки, воспользуемся признаком принадлежности ее поверхности: точка принадлежит поверхности; если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности.

Для данной линейчатой поверхности при построении проекций образующей сначала задается ее горизонтальная проекция, а затем находится фронтальная. Поэтому через известную горизонтальную проекцию точки A' проводим проекцию образующей а'₂, определяем ее фронтальную проекцию а₂", на которой по линии связи найдем искомую фронтальную проекцию точки A".

Для определения недостающей горизонтальной проекции точки В' выполним следующие построения:

1. Построим ряд образующих заданной поверхности a₁,a₂,a₃,a₄ .

2. На фронтальной плоскости проекций через известную проекцию точки В" проведем проекцию вспомогательной линии b' принадлежащей заданной поверхности и пересекающей образующие.

3. По известным фронтальным проекциям точек пересечения проекции линии b" с образующими а₁", а₂", а₃", а₄" найдем горизонтальные проекции этих точек. Соединив их плавной линией, построим горизонтальную проекцию вспомогательной линии b' на которой по линии связи найдем искомую проекцию точки В'.

К линейчатым поверхностям с тремя направляющими относятся, например, поверхности гребных винтов судов и пропеллеров самолетов. В архитектуре и строительстве они используются при возведении крытых зданий стадионов, рынков, вокзалов.

Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)

К линейчатым поверхностями с двумя направляющими плоскостью параллелизма относятся:

1. Поверхность прямого цилиндроида. Такая поверхность может быть образована движением прямолинейной образующей по двум направляющим m и n в том случае, когда они - гладкие кривые линии, причем одна из них - плоская кривая, плоскость которой β перпендикулярна плоскости параллелизма  a (n ⊂ β, β ⊥ a) (рис. 107).

2. Поверхность прямого коноида. Эта поверхность получается в том случае, когда одна направляющая - кривая линия, а вторая -прямая, причем она перпендикулярна плоскости параллелизма

a( n ⊥ a) (рис. 108). Поверхность прямого коноида используется в гидротехническом строительстве для формирования поверхности устоев мостовых опор.

3. . Такая поверхность образуется в том случае, когда две направляющие - скрещивающие прямые (рис. 109). Поверхность косой плоскости применяется в инженерно - строительной практике для формирования поверхностей откосов, насыпей, железнодорожных и автомобильных дорог, набережных, гидротехнических сооружений в местах сопряжения имеющих различные углы наклона.

 Линейчатые поверхности с одной направляющей (торсы)

Торсы являются развертываемыми поверхностями - они могут быть совмещены с плоскостью без складок и разрывов. К торсовым поверхностям относятся:

1.    Поверхность с ребром возврата. Эта поверхность образуется движением прямолинейной образующей, во всех своих положениях касательной к пространственной кривой, называемой ребром возврата.

2.    Цилиндрическая поверхность. Данная поверхность образуется движением прямолинейной образующей, скользящей по кривой направляющей и остающейся параллельной своему исходному состоянию (рис.110).

3.    Коническая поверхность. Эта поверхность образуется движением прямолинейной образующей, скользящей по кривой направляющей и проходящей во всех своих положениях через одну и ту же неподвижную точку S (рис. 111).

Поверхности вращения

Поверхностью вращения называют поверхность, получаемую вращением какой-либо образующей линии вокруг неподвижной прямой - оси вращения поверхности.

Плоскости, перпендикулярные оси вращения, пересекают поверхность по окружностям - параллелям. Наименьшую параллель называют горлом, наибольшую - экватором.

Па рис. 112 показана поверхность вращения. Здесь образующей является плоская кривая ABCD , ось вращения i расположена в одной плоскости с этой кривой.

Линии, по которым плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность называют меридианами. Каждый меридиан разделяется на две симметричные относительно оси вращения линии, называемые полумеридианами. Меридиан, расположенный в плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекций, называют главным меридианом.

Основные свойства поверхности вращения:

1.    Отрезок меридиана между двумя точками поверхности есть кратчайшее расстояние между этими точками.

2.    Все меридианы равны между собой.

3.    Каждая из параллелей поверхности вращения пересекает меридианы под прямым углом.

4.    Любая из нормалей к поверхности вращения пересекает ось вращения поверхности.

Поверхности вращения на чертеже удобно задавать очерками, проекциями ее характерных линий и точек. Фронтальным очерком поверхности вращения является фронтальная проекция главного меридиана, а горизонтальным - горизонтальная проекция экватора.

Рассмотрим основные виды поверхностей вращения:

1. Цилиндр вращения. Эта поверхность может быть получена вращением прямой, параллельной оси вращения i (рис. 113).

2. Конус вращения. Поверхность конуса вращения может быть получена вращением прямой, пересекающей ось вращения i (рис. 114).

3. Сфера. Образующая сферы - окружность, центр которой О находится на оси вращения i (рис. 115).

4. Top. Образующая тора - окружность или ее дуга. Ось вращения i лежит в плоскости этой окружности, но не проходит через ее центр (рис.116, 117).

Различают открытый тор (круговое кольцо) (рис. 116,117,а), закрытый (рис. 117, б), самопересекающийся (рис. 117, в, г).

Образующей для открытого (рис. 116,117,а) и закрытого тора (рис. 117,6) служит окружность, для самопересекающегося (рис. 117, в, г) -дуга окружности.

5. Параболоид вращения. Такая поверхность образуется при вращении параболы вокруг ее оси ( рис. 118 ). Поверхность параболоида используется в параболических антеннах и зеркалах рефлекторов.

6. Гиперболоид вращения. Эта поверхность образуется при вращении гиперболы вокруг оси. Различают двуполостный  и однополостный гиперболоид вращения. Для двуполостного гиперболоида вращения осью вращения служит действительная ось гиперболы (рис. 119),

для однополостного гиперболоида (рис. 120) - ее мнимая ось. Однополостный гиперболоид вращения также может быть образован вращением прямой линии в случае, если образующая и ось вращения -скрещивающиеся прямые.

Положение точки на поверхности вращения определяется с помощью окружности, которая проходит на поверхности вращения через эту точку (см. рис.114-116). В случае линейчатых поверхностей вращения (цилиндр, конус) возможно использование для этой цели прямолинейных образующих (см. рис. 113,114).

Винтовые линейчатые поверхности

Винтовой линейчатой поверхностью называется поверхность. образуемая винтовым перемещением прямой.

Винтовое перемещение образующей AВ характеризуется вращением ее вокруг оси i и одновременным поступательным движением, параллельным этой оси (рис. 121). Закон перемещения образующей определяется видом винтовой линии (ее направлением, диаметром и шагом) и характером перемещения образующей по направляющей.

На практике чаще всего встречаются винтовые линейчатые поверхности с постоянным шагом направляющей линии. Такие винтовые поверхности называются геликоидами.

Если угол наклона образующей к оси вращения равен 90°, то геликоид называется прямым, если этот угол произвольный, отличный от 0 и 90°, то геликоид называется косым (наклонным). Прямые и косые геликоиды могут быть открытыми и закрытыми. У открытого геликоида образующая и ось вращения - скрещивающиеся прямые, у закрытого пересекающиеся прямые. На рис. 121 построен каркас прямого закрытого геликоида.

Винтовые поверхности широко используются в технике. Винты, пружины, сверла, шнеки для перемещения сыпучих материалов, винтовые лестницы - все они имеют винтовые поверхности.