Математика 5-6 классы. 3. Умножение и деление натуральных чисел

Подробности

Категория: Математика 5-6 классы

 Умножение, Законы умножения

Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4—это означает найти сумму трех слагаемых, каждое из которых есть 4. Таким образом,

3 • 4 = 4 + 4 + 4.

Числа 3 и 4 называются множителями, а число 3 • 4 — их произведением.

Для любого числа а верно равенство 1 • а=а.

Вот еще примеры;

5 • 3 — 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15,

3 • 1 = 1 + 1 + 1 =3,

1 • 7 = 7.

Для любых натуральных чисел а и b верно равенство а • b=b • а,

выражающее переместительный или коммутативный закон умножения:

От перестановки множителей произведение не изменяется.

Переместительный закон умножения легко проверяется при подсчете двумя способами числа квадратов на рис. 1.2.

Все квадраты можно расположить в 3 ряда по 4 квадрата—всего 3 • 4 квадрата (рис. 1.3). Но можно расположить все квадраты в 4 столбца по 3 квадрата—всего 4 • 3 квадрата. Так как число квадратов в обоих случаях одно и то же, то

3 • 4 = 4 • 3.

Для любых натуральных чисел а, b и с верно равенство

(a • b) • c=a • (b • c),

выражающее сочетательный или ассоциативный закон умножения:

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение  второго и третьего чисел.

Сочетательный закон легко проверяется при подсчете числа кубиков на рис. 1.4. Все кубики можно расположить в два слоя—нижний и верхний—по 3 • 4 кубика в каждом—всего 2 • (3 • 4) кубика (рис. 1.5).

Но можно расположить все кубики в 4 слоя по 2 • 3 кубика в каждом—всего 4 • (2 • 3) = (2 • 3) • 4 кубика.

Так как число кубиков в обоих случаях одно и то же, то (2 • 3) • 4 = 2 • (3 • 4).

Этим примером мы проиллюстрировали сочетательный закон умножения для натуральных чисел.

Отметим, что произведение трех (и более) чисел можно записать и без скобок:

(2 • 3) • 4 = 2 • (3 • 4) = 2 • 3 • 4.

Изученные нами законы умножения применяются для упрощения вычислений.

Пример. Вычислить произведение (5 • 48) • 2.

Пользуясь принятым порядком действий, мы должны сначала умножить 5 на 48, а полученный результат умножить на 2.

Для упрощения вычислений применим переместительный и сочетательный законы умножения:

(5 • 48) • 2г= (48 • 5) - 2 = 48 • (5 • 2) = 48 • 10 = 480.

В произведении нескольких множителей можно переставлять множители и заключать их в скобки любым способом.

Пример. 3 • 4 • 5 • 6 = 6 • 5 • 4 • 3,    3 • 4 • 5 • 6 = (3 • 4) • (5 • 6).

По определению считают, что для любого неотрицательного числа а

а • 0 = 0,

0 • а = 0.

Тогда равенства а • b=b • а и (а • b) • с=а • (b • с) верны и для неотрицательных чисел.

Например, 5 • 0 = 0 • 5, (5 • 3) • 0 = 5 • (3 • 0).

Деление

Пусть а и b—натуральные числа и а больше или равно 6 (а ≥ b). Говорят, что а делится на 6 нацело, если существует натуральное число с, произведение которого на b равно a:

а = с • b.

При этом пишут а : b = с и называют а делимым, b—делителем, с—частным. Таким образом, (a:b) • b = a, т. е. если а разделить на b и результат умножить на b, то получится а.

Любое натуральное число а делится на 1 и само на себя:

a : 1= a, а : а= 1,
так как a • 1=а, 1 • а = а.

Например, 15 делится на 1 и 15, а также на 3 и 5, а 19 делится только на 1 и само на себя. Считают также, что 0 : b = 0 для любого натурального числа b, так как 0 • b=0.

Но делить на 0 нельзя. Для любого натурального числа а не существует такого числа с, чтобы выполнялось равенство a : 0 = c, так как с • 0 = 0.

При делении 0 на 0 можно было бы считать, что 0:0 = с, потому что с • 0=0. Но в этом случае частным могло бы быть любое число с. Поэтому считают, что и 0 нельзя делить на 0.

Отметим, что частное неотрицательных чисел а и b ( b ≠ 0)—единственное число.

Отметим важное свойство частного: делимое и делитель можно умножить или разделить на одно и то же натуральное число—частное от этого не изменится.

Например, 48:24 = 2 и (48-2):(24-2) = 96:48 = 2.

Это свойство часто используют для упрощения вычислений

 168:42=(168:3): (42:3)=56:14=(56:7): (14:7)=8:2=4

Таким образом, верны формулы

а:b = (а • n):(b • n), а:b = (а:n):(b:n),

где n натуральное число и во второй формуле а и b делятся на n.

Докажем первую из них. Пусть а:b = с; тогда с • b = а но тогда (а • n):(b • n) также равно с, потому что с • (b • п)= (с • b) • n = а • n.    '