Математика 5-6 классы. 4. Деление с остатком. Квадрат и куб числа

 

 


 

 

 Деление с остатком

 



Число 14 не делится нацело на 3, так как нет натурального числа, произведение которого на 3 равно 14.

В самом деле, будем перемножать последовательно" числа натурального ряда, на 3. Получим числа, расположенные в возрастающем порядке: 1 • 3 = 3,

2 • 3 =6, 3 • 3 = 9, 4 • 3=12, 5 • 3=15, ...

Первое из этих чисел есть 3, второе больше первого на 3, третье больше второго тоже на З и т. д. Среди этих чисел нет числа 14. Однако среди них есть наибольшее число, меньшее 14, это число 12 = 4 • 3. Чтобы получить 14, надо прибавить к 12 число 2, которое меньше 3.   

Итак, справедливо равенство 14 = 4 • 3 + 2, где 4 — наибольшее число, произведение которого на 3 меньше 14. Это число называют неполным частным от деления 14 на 3, а число 2—остатком. Остаток меньше делителя.

Результат деления 14 на 3 записывают так:

14:3 = 4 (ост. 2).

Вот еще пример: 37 = 7 • 5 + 2, где 2 <5. Здесь 7 — неполное частное от деления 37 на 5, а 2—остаток. Поэтому можно записать: 37:5 = 7 (ост. 2).

Если одно число делится надело на другое, то иногда считают, что оно делится с остатком, равным нулю.

Разделить число а на число b—это значит найти частное а:b, если а делится нацело на b, или найти неполное частное и остаток, если а не делится нацело на b.

Для малых чисел деление производят в уме, , а для больших—уголком. Рассмотрим несколько примеров.

Пример. Разделить 42 на 3.

42:3 = (30+ 12) :3 = 30:3+ 12:3 = 10 + 4 = 14.

Пример. Разделить 356 на 4.

356:4 = (320 + 36):4 = 320:4 + 36:4 = 80 + 9 = 89.

Такое деление записывают обычно коротко—уголком:

Аналогично выполняют деление уголком на двузначное, трехзначное и т. д. числа.

Пример. Разделить 14688 на 36.

 

14 тысяч не делится на 36 нацело. Будем делить на 36 число сотен—146 сотен. 146:36 = 4 (ост. 2). Теперь необходимо разделить остаток от деления сотен—2 сотни и 8 десятков, т. е. 28 десятков, на 36. 28:36 = 0 (ост. 28). Остается разделить остаток от деления десятков—28 десятков и 8 единиц, т. е. 288 единиц, на 36. 288:36 = 8. Таким образом, 14688:36 = 408.

Пример. Разделить 1409 на 7.

Делим на 7 число сотен—14 сотен. 14:7 = 2 (ост. 0).

Делим на 7 число десятков—0 десятков. 0:7 = 0.

Делим на 7 число единиц—9 единиц. 9:7=1 (ост. 2).

Таким образом, 1409:7 = 201 (ост. 2).

 

 

 Степень с натуральным показателем



Мы уже знаем, что сумму одинаковых слагаемых принято записывать короче—в виде произведения:

5 + -5 + 5 + 5 = 4 • 5, a + a + a + a = 4 • a. Произведение одинаковых чисел также записывают короче:

5 • 5 • 5 • 5 = 54, a • a • a = a3

и называют степенью. Читают «пять в степени 4», «а в степени 3».

Например, запись 23—«два в степени три»—означает

2 • 2 • 2. При этом число 2 называют основанием степени,

3—  показателем степени. Число 3 показывает, сколько раз нужно взять множителем основание—число 2:

23 = 2 • 2 • 2 = 8.

 

Таким образом, степенью числа а с натуральным показателем n (n > 1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

 

Пример. Вычислить 24.

 

Пример.Вычислить З7.

 

Таким образом можно вычислить любую степень с натуральным показателем, большим единицы. Нам остается выяснить—что означает запись вида 21 т. е. степень с показателем, равным единице. Ведь не имеет смысла говорить о произведении одного множителя.

Принято считать, что 21 = 2, 51 = 5, 1001 = 100, т. е. первая степень любого числа равна самому числу;

a1=a

Вторая степень числа называется также квадратом числа. Читают: 52—«пять в квадрате», а2—«а в квадрате».

Третья степень числа называется кубом числа. Читают: 53—«пять в кубе», а3—«а в кубе».

Материалы

-->

Яндекс.Метрика