Математика 5-6 классы. 4. Деление с остатком. Квадрат и куб числа
- Подробности
- Категория: Математика 5-6 классы
Деление с остатком
Число 14 не делится нацело на 3, так как нет натурального числа, произведение которого на 3 равно 14.
В самом деле, будем перемножать последовательно" числа натурального ряда, на 3. Получим числа, расположенные в возрастающем порядке: 1 • 3 = 3,
2 • 3 =6, 3 • 3 = 9, 4 • 3=12, 5 • 3=15, ...
Первое из этих чисел есть 3, второе больше первого на 3, третье больше второго тоже на З и т. д. Среди этих чисел нет числа 14. Однако среди них есть наибольшее число, меньшее 14, это число 12 = 4 • 3. Чтобы получить 14, надо прибавить к 12 число 2, которое меньше 3.
Итак, справедливо равенство 14 = 4 • 3 + 2, где 4 — наибольшее число, произведение которого на 3 меньше 14. Это число называют неполным частным от деления 14 на 3, а число 2—остатком. Остаток меньше делителя.
Результат деления 14 на 3 записывают так:
14:3 = 4 (ост. 2).
Вот еще пример: 37 = 7 • 5 + 2, где 2 <5. Здесь 7 — неполное частное от деления 37 на 5, а 2—остаток. Поэтому можно записать: 37:5 = 7 (ост. 2).
Если одно число делится надело на другое, то иногда считают, что оно делится с остатком, равным нулю.
Разделить число а на число b—это значит найти частное а:b, если а делится нацело на b, или найти неполное частное и остаток, если а не делится нацело на b.
Для малых чисел деление производят в уме, , а для больших—уголком. Рассмотрим несколько примеров.
Пример. Разделить 42 на 3.
42:3 = (30+ 12) :3 = 30:3+ 12:3 = 10 + 4 = 14.
Пример. Разделить 356 на 4.
356:4 = (320 + 36):4 = 320:4 + 36:4 = 80 + 9 = 89.
Такое деление записывают обычно коротко—уголком:
Аналогично выполняют деление уголком на двузначное, трехзначное и т. д. числа.
Пример. Разделить 14688 на 36.
14 тысяч не делится на 36 нацело. Будем делить на 36 число сотен—146 сотен. 146:36 = 4 (ост. 2). Теперь необходимо разделить остаток от деления сотен—2 сотни и 8 десятков, т. е. 28 десятков, на 36. 28:36 = 0 (ост. 28). Остается разделить остаток от деления десятков—28 десятков и 8 единиц, т. е. 288 единиц, на 36. 288:36 = 8. Таким образом, 14688:36 = 408.
Пример. Разделить 1409 на 7.
Делим на 7 число сотен—14 сотен. 14:7 = 2 (ост. 0).
Делим на 7 число десятков—0 десятков. 0:7 = 0.
Делим на 7 число единиц—9 единиц. 9:7=1 (ост. 2).
Таким образом, 1409:7 = 201 (ост. 2).
Степень с натуральным показателем
Мы уже знаем, что сумму одинаковых слагаемых принято записывать короче—в виде произведения:
5 + -5 + 5 + 5 = 4 • 5, a + a + a + a = 4 • a. Произведение одинаковых чисел также записывают короче:
5 • 5 • 5 • 5 = 54, a • a • a = a3
и называют степенью. Читают «пять в степени 4», «а в степени 3».
Например, запись 23—«два в степени три»—означает
2 • 2 • 2. При этом число 2 называют основанием степени,
3— показателем степени. Число 3 показывает, сколько раз нужно взять множителем основание—число 2:
23 = 2 • 2 • 2 = 8.
Таким образом, степенью числа а с натуральным показателем n (n > 1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.
Пример. Вычислить 24.
Пример.Вычислить З7.
Таким образом можно вычислить любую степень с натуральным показателем, большим единицы. Нам остается выяснить—что означает запись вида 21 т. е. степень с показателем, равным единице. Ведь не имеет смысла говорить о произведении одного множителя.
Принято считать, что 21 = 2, 51 = 5, 1001 = 100, т. е. первая степень любого числа равна самому числу;
a1=a
Вторая степень числа называется также квадратом числа. Читают: 52—«пять в квадрате», а2—«а в квадрате».
Третья степень числа называется кубом числа. Читают: 53—«пять в кубе», а3—«а в кубе».
