Математика 5-6 классы. 19. Делители натурального числа. Признаки делимости

Подробности

Категория: Математика 5-6 классы

Свойства делимости

Свойство 1. Если одно число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье.

Например, 777 делится на 111, потому что 777 = 7 • 111, а 111 делится на 3, потому что 111 = 37 • 3. Из этого следует, что 777 делится на 3, потому что 777 = 7 • 111 = 7 • (37 • 3) = (7 • 37) • 3 = 259 • 3.

Свойство 2. Если каждое из двух чисел а и b делится на число с, то сумма а + b и разность а — Ь делятся на с.

Например, 100 делится на 4, потому что 100 = 25 • 4; 36 тоже делится на 4, потому что 36 = 9 • 4.

Тогда 136 делится на 4, потому что 136= 100 + 36 = 25 • 4 + 9 • 4  = (25+9) • 4 = 34 • 4.

Можно также заключить, что число 64 делится на 4

потому что 64=100—36 = 25 • 4—9 • 4 = (25—9) • 4= 16 • 4.

Свойство 3. Если одно из двух чисел а и Ь делится на с, а другое не делится на с, то сумма а + b и разность а—b не делятся на с.

Например, 148 делится на 37, потому что 148 = 4-37, а 11 не делится на 37.

Рассмотрим равенство (148+ 11) —148= 11. Справа в нем находится число, не делящееся на 37. Если допустить, что сумма (148+11) делится на 37, то левая часть делится на 37 как разность чисел, делящихся на 37. Тогда и правая часть должна делиться на 37, а это неверно. Поэтому (148+11) не делится на 37.

Также можно доказать, что и разность (148—11) не делится на 37.

Признаки делимости

Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.

Например, 4560 делится на 10, потому что 4560 = 456 • 10. Число 4561 не делится на 10, потому что 4561 = 4560+ 1—сумма числа 4560, делящегося на 10, и числа 1, не делящегося на 10 (свойство 3).

Если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5.

Например, число 2300 делится на 5, потому что 2300 = 230-10, а 10 делится на 5 (свойство 1), Число

2305 тоже делится на 5, потому что 2305 = 2300 + 5    

сумма чисел, делящихся на 5 (свойство 2). Число 2327 не делится на 5, потому что 2327 = 2320 + 7—сумма чисел 2320, делящегося на 5, и 7, не делящегося на 5 (свойство 3).

Если число оканчивается на цифры 0, 2, 4, б, 8, то оно делится на 2.

Если число оканчивается на цифры 1, 3, 5, 7, 9, то оно не делится на 2.

Например, число 130 делится на 2, потому что 130=13 • 10, а 10 делится на 2 (свойство 1). Число 136 тоже делится на 2, потому что 136= 130 + 6—сумма чисел, делящихся на 2,

Число 137 не делится на 2, потому что 137 = 130 + 7    

сумма числа 130, делящегося на 2, и числа 7, не делящегося на 2 (свойство 3).

Если две последние цифры числа образуют число, делящееся на 4, то и само число делится на 4.

Например, число 3700 делится на 4, потому что 3700 = 37 • 100, а 100 делится на 4 (свойство 1), Число 3732 делится на 4, потому что 3732 = 3700 + 32—сумма чисел 3700 и 32, делящихся на 4 (свойство 2). Число 3730 не делится на 4, потому что 3730 = 3700 + 30    сумма чисел 3700, делящегося на 4, и 30, не делящегося на 4 (свойство 3).

Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Например, сумма цифр числа 7245 делится на 9:

7 + 2 + 4 + 5=18. Число 7245 делится на 9, потому что его можно представить в виде

7 • 1000 + 2 • 100 + 4 • 10 + 5 =  7 • (999+ 1) + 2 • (99 + 1) + 4 • (9 + 1) + 5 = (7 • 999+2 • 99+4 • 9) +(7+2+4+5), где сумма в первой скобке делится на 9, так как каждое слагаемое делится на 9. А во второй скобке стоит сумма цифр данного числа, делящаяся на 9.

Число 375 не делится на 9, так как сумма его цифр 3+7+5=15 не делится на 9. Это можно доказать следующим образом:  

 375=3 • (99+1) +7 • (9+1) +5 = (3 • 99+7 • 9) + (3+7+5), где сумма в первой скобке делится на 9, а во второй скобке стоит сумма цифр числа 375, не делящаяся на 9.

Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Например, у числа 375 сумма цифр делится на 3 (3+7+5=15) и оно само делится на 3, потому что 375= (399+7 • 9) + (3+7+5), где сумма в первой скобке делится на 3, а во второй скобке стоит сумма цифр числа 375, тоже делящаяся на 3.

Число 679 не делится на 3, так как сумма цифр 6+7+9=22 не делится на 3. Это можно доказать так: 679 = 6 • (99+1) +7 • (9+1) +9 = (699+7 • 9) + (6+7+9), где сумма в первой скобке делится на 3, а во второй скобке стоит сумма цифр числа 679, не делящаяся на 3.