Математика 5-6 классы. 21. Общий делитель. Наибольший общий делитель

Подробности

Категория: Математика 5-6 классы

 Наибольший общий делитель

Число 12 имеет делители 1, 2, 3, 4, 6, 12. Число 54 имеет делители 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Мы видим, что числа 12 и 54 имеют общие делители 1, 2, 3, 6.

Если рассмотреть разложения чисел 12 и 54 на простые множители: 12 = 2 • 273, 54 = 2 • 3 • 3 • 3, можно заметить, что в эти разложения входит одинаковая группа множителей 2 • 3. С помощью этих множителей легко определить общие делители чисел 12 и 54: 1, 2, 3, б (6=2 • 3).

Наибольшим общим делителем чисел 12 и 54 является число 6—произведение общих простых делителей этих чисел.

Наибольший общий делитель чисел а и b обозначается НОД (а, b). Например, НОД (12, 54) = 6.

Рассмотрим примеры нахождения наибольшего общего делителя.

Ответ. 12.

56 и 45 не имеют общих простых делителей, поэтому НОД(56, 45)= 1.    

Ответ. 1.

Числа, не имеющие общих простых делителей, называются взаимно простыми числами. Наибольший общий делитель взаимно простых чисел равен 1.

Два простых числа (например, 17 и 23), а также два соседних натуральных числа (например, 24, 25) являются взаимно простыми (докажите).

Ответ. 4.

Но можно выполнить это задание короче, если заметить, что 12 делится надело на 4. Очевидно, что НОД (12, 4) = 4.

Таким образом, если одно из чисел делится нацело на другое, то наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них.