Математика 5-6 классы. 22. Общее кратное. Наименьшее общее кратное

Подробности

Категория: Математика 5-6 классы

 Наименьшее общее кратное

Числу 12 кратны числа 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 и т. д. Числу 18 кратны числа 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 и т. д. Мы видим, что есть числа, кратные одновременно и 12, и 18. Эти числа называются общими кратными 12 и 18. Таких чисел сколько угодно. Все они имеют вид 36 • n, где n—какое-либо натуральное число.

Среди чисел 36 • n есть наименьшее—при n= 1. Это число 36. Его называют наименьшим общим кратным чисел 12 и 18.

Вообще наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называется наименьшее число, делящееся нацело и на а, и на b. Это число обозначается НОК (а, b). Аналогично определяется наименьшее общее кратное трех чисел.

Нахождение НОК (а, b) обычно выполняют одним из двух способов. Рассмотрим их. Найдем НОК (12, 18).

I    способ. Будем выписывать числа, кратные 12, проверяя каждое из них—делится ли оно на 18:

12 • 1 = 12—не делится на 18,

12 • 2 = 24—не делится на 18,

12 • 3 = 36—делится на 18.

НОК (12, 18) = 36.

II    способ. Разложим числа 12 и 18 на простые множители:

12 = 2 • 2 • 3,    18 = 2 • 3 • 3.

НОК (12, 18) должно делиться и на 12, и на 18. Поэтому это число содержит все простые множители 12 (т. е. числа 2, 2, 3) и еще недостающие множители из разложения 18 (т. е. еще одно число 3). Поэтому НОК (12, 18) = 2 • 2 • 3 • 3 = 36.

Заметим, что взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, поэтому их наименьшее общее кратное равно их произведению. Например, 24 и 25—взаимно простые числа, поэтому НОК (24, 25) = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 5 = = 24 • 25 = 600.

Если одно из двух чисел делится нацело на второе, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них. Например, 120 делится нацело на 24, следовательно, НОК (120, 24)= 120.