Математика 5-6 классы. 32. Прямая и обратная пропорциональности

Подробности

Категория: Математика 5-6 классы

 Прямая и обратная пропорциональность

Частное двух величин также называется отношением. Отношение величин одного наименования (длин, скоростей, стоимостей и т. д.) есть число.

Например,

Отношение величин разных наименований (путь и скорость, стоимость и количество товара и т. доопределяет новую величину.

Например,

Величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Пример. Пройденный путь и время движения прямо пропорциональны при постоянной скорости движения. Если машина, двигаясь равномерно, за 2 ч проедет 120 км, то за 6 ч она проедет 360 км—6 ч во столько раз больше 2 ч, во сколько раз 360 км больше 120 км. Поэтому можно записать пропорцию:

Величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Пример. Скорость и время равномерного движения обратно пропорциональны на одном участке пути. Если участок пути машина проедет со скоростью  за 4 ч, то со скоростью —за 8 ч, так как уменьшение скорости в два раза влечет увеличение времени прохождения пути в два раза.

Задача 1. Какой путь проедет поезд, двигаясь равномерно, за 15 с, если 60 м он проехал за 2 с?

Решение. 1) Пусть х—путь, который проехал поезд за 15 с. Тогда

2) Составим и решим пропорцию:

Ответ. 450 м.

Одинаково направленными стрелками мы отметили, что величины прямо пропорциональны: чем больше время движения, тем больше пройденный путь.

Задача 2. За 7 ч работы токарь изготовил 252 детали. Сколько деталей изготавливал токарь за 15 мин, если производительность его труда была постоянной?

Решение. 1) Выразим время работы в одних единицах измерения:

2) Пусть х—количество деталей, которые токарь изготавливал каждые 15 мин. Тогда

3) Составим и решим пропорцию: Так как

Ответ. 9 деталей.

При решении мы выразили величины одного наименования— время с помощью одной единицы измерения—часа. В ответе записано число деталей, которое изготавливал токарь каждые 15 мин.

Задача 3. Пассажирский поезд, скорость которого , затратил на некоторый участок пути 4 ч. За сколько часов пройдет этот же участок пути товарный поезд, если скорость ?

Решение. 1) Пусть х ч—время, за которое товарный поезд пройдет участок пути. Тогда

2) Составим и решим пропорцию:

Ответ.

Записывая коротко условия задачи, противоположно направленными стрелками мы отметили, что величины обратно пропорциональны: чем меньше скорость, тем больше время движения.