Односторонние и двусторонние поверхности

Подробности

Категория: Геометрия

Документальные учебные фильмы. Серия «Геометрия».

 Построим многогранник, именно гептаэдр, который согласно теореме Эйлера о многогранниках должен быть двусвязным. Будем исходить из правильного октаэдра.

 Добавим к восьми треугольным граням этого многогранника еще три квадрата, расположенных в трех плоскостях, определяемых диагоналями октаэдра (например ABCD). Эти одиннадцать поверхностей не определяют многогранника, так как в противоположность данному выше определению к каждому ребру сходятся не две, а три поверхности. Удалим теперь четыре треугольника, а именно: на верхней половине октаэдра, изображенного на чертеже, левый передний треугольник и правый задний, а на нижней половине — левый задний и правый передний треугольники. В итоге остаются только четыре треугольника октаэдра, которые на нашем чертеже заштрихованы. Таким способом мы построим фигуру, состоящую из четырех треугольников и трех квадратов. Ребра и вершины этой фигуры совпадают с ребрами и вершинами октаэдра, но диагонали октаэдра являются не ребрами, а линиями, проходящими сквозь нашу фигуру. Очевидно, в каждом ребре сходятся в точности две грани и от всякой грани можно перейти к любой другой, переходя через ребра. Таким образом наша фигура представляет многогранник; так как она имеет семь граней, то она называется гептаэдром. Так же, как и октаэдр, она имеет двенадцать ребер и шесть вершин. Для этого случая обобщенная теорема о многогранниках дает:
.

Поэтому гептаэдр имеет связность h = 2.
 Как простые многогранники могут быть деформируемы в шар, точно так же имеется простая замкнутая поверхность, в которую можно деформировать гептаэдр. Это—поверхность, называемая «римской поверхностью» черт 288.

а)     б)    в)

Ее исследовал Штейнер. Она подобно гептаэдру имеет три попарно перпендикулярных отрезка, проходящих сквозь фигуру. В прямоугольных координатах она определяется уравнением:

т. е. представляет собой поверхность четвертого порядка.
 Помимо четной связности и наличия кривых самопересечения поверхности, гептаэдр обладает еще одним важным свойством, которое отличает его от всех до сих пор рассмотренных поверхностей. Представим себе, что эта поверхность осуществлена при помощи некоторой перепонки, и рассмотрим некоторое существо, например жука, который ползет по этой перепонке, начиная с некоторой точки Р. Напротив этой точки, с другой стороны тонкой перепонки, расположена некоторая точка Р′ совпадающая с точкой Р, если заменить перепонку первоначальной геометрической поверхностью. Казалось бы, что жук не может попасть из точки Р в точку Р′ иначе, как проделав в каком-нибудь месте перепонки дыру. Такое предположение верно по отношению к шару и ко всем кренделям. Однако гептаэдр представляет собой поверхность, для которой такое предположение не оправдывается Выберем в качестве исходной точки Р некоторую точку на квадратной грани, параллельной плоскости чертежа, на стороне, обращенной к наблюдателю.

Рассмотрим теперь путь, который ведет по поверхности гептаэдра из точки Р, пересекает ребра 1, 2, З, 4 и затем снова приводит на первоначальную квадратную грань. Жук, который путешествует по этому пути, очевидно, переходя через ребро 4, попадает на обратную сторону той квадратной грани, с лицевой стороны которой он начал свое путешествие. Ему приходится трижды просверливать перепонку гептаэдра, но не ту грань, по которой он путешествует, а другую грань, которая преграждает ему дорогу в точках самопересечения поверхности.
Вследствие этого гептаэдр называется односторонней поверхностью, в то время как шар и крендели называются двусторонними. Для поверхностей, имеющих границу, также можно провести такое различие. Для этого следует посмотреть, имеется ли на поверхности (которую рассматриваем как перепонку) такой путь, который ведет с одной стороны поверхности на другую без того, чтобы при этом приходилось пересекать границу поверхности или просверливать поверхность в том месте, через которое проходит рассматриваемый путь. Если такой путь на поверхности имеется, то поверхность называется односторонней; в противном случае—двусторонней. Поверхности с границей, рассмотренные нами до сих пор, были все двусторонними, например круг. Оказывается, можно привести пример гораздо более простой, чем гептаэдр, односторонней поверхности, имеющей границу, именно, поверхность Мебиуса. Мы построим эту поверхность из бумажной полоски, которая имеет вид сильно вытянутого прямоугольника.

Если мы сложим короткие стороны АВ и CD так, что точка А совпадет с точкой С, а точка В с точкой D, то получим, как мы уже видели выше, кусок кругового цилиндра, двустороннюю поверхность с двумя краями. Вместо этого мы теперь до складывания повернем на 180° один конец полосы по отношению к другому. Следовательно, мы сложим концы так, что точка А совпадет с точкой D, а точка В с точкой С (черт. 292). Мы получим модель мебиусовой поверхности.

Легко убедиться, что эта поверхность односторонняя. Начертим, например, до складывания линию РР′, параллельную длинным сторонам прямоугольника. Эта прямая после складывания перейдет в линию QQ′, которая представляет путь, ведущий с одной стороны полосы на другую.
 Односторонние поверхности можно охарактеризовать при помощи другого важного топологического понятия, для формулировки которого не приходится предполагать, что поверхность представляет собой перепонку. Представим себе, что вокруг всякой точки заданной поверхности (за исключением точек границы, если таковая имеется) проведена малая замкнутая кривая, целиком расположенная на поверхности. Попытаемся теперь на всех этих замкнутых кривых так определить направление обхода, что достаточно близкие точки будут обходиться всегда в одном и том же направлении. Если такое установление направления обхода возможно, то оно называется ориентацией поверхности и поверхность называется ориентируемой. И вот, односторонние поверхности никогда не могут быть ориентируемы. Для доказательства этого представим себе один из тех замкнутых путей, существование которого равнозначно односторонности поверхности, например путь QQ′ на мебиусовой поверхности, причем мы опять будем рассматривать точки Q и Q′ как тождественные. Если установим для точки Q некоторое направление обхода и если сохраним это направление обхода на протяжении всего пути QQ′ то в точку Q=Q′ мы необходимо придем с обратным направлением обхода. Такое явление не могло бы наступить, если бы поверхность Мебиуса была ориентируемой. То же самое имеет место и для всех других односторонних поверхностей. Обратно, можно показать, что все двусторонние поверхности ориентируемы. Таким образом разделение поверхностей на двусторонние и односторонние тождественно с разделением на ориентируемые и неориентируемые.
 Легко видеть, что поверхность тогда и только тогда неориентируема, если на ней имеется некоторая замкнутая кривая s, такая, что малая ориентированная окружность, центр которой непрерывно движется по кривой s, приходит в начальную точку ориентированной в противоположном направлении (например кривая QQ′). Если на поверхности двигаться вдоль кривой s по одну сторону от этой кривой (по одному её «берегу»), то в конце концов можно оказаться по другую сторону кривой, хотя при этом движении не приходилось пересекать кривую. Поэтому говорят, что кривая s имеет один «берег». В то время как на ориентируемых поверхностях все кривые имеют два берега, наличие замкнутых однобережных кривых характерно для неориентируемых поверхностей. Односторонние поверхности и однобережные кривые взаимно обусловливают друг друга. Первое свойство относится к расположению поверхности в пространстве, а второе — к расположению кривой на поверхности.
  В противоположность мебиусовой поверхности гептаэдр содержит линии, проходящие сквозь поверхность. Казалось бы, всякая односторонняя замкнутая поверхность должна пересекать сама себя. В самом деле, эти поверхности имеют только одну сторону и, следовательно, не могут отграничивать части пространства от всего остального пространства, т. е. они не разбивают пространство на внутреннюю и внешнюю части. Для замкнутой поверхности без лежащих на ней линий самопересечения такое поведение нельзя себе представить. И действительно, все односторонние замкнутые поверхности пересекают сами себя. Однако доказательство этого должно быть проведено совершенно иным путем.
 Не всякое самопересечение поверхности представляет топологическую особенность. Рассмотрим, например, поверхность вращения, возникающую при вращении изображенной на черт. 293 кривой вокруг пунктирной прямой этого чертежа.

Точка А описывает