Гомотетия
- Подробности
- Категория: Геометрия
Документальные учебные фильмы. Серия «Геометрия».
Преобразование плоскости называется преобразованием подобия или просто подобием, если существует такое число , что для любых двух точек А и В и их образов А' и В' выполняется равенство
. Число
называется коэффициентом подобия.
При =1 преобразование подобия сохраняет расстояния, т. е. является движением. Следовательно, движение — частный случай преобразования подобия. Рассмотрим пример преобразования подобия, отличного от движения.
Зададим точку М0 и вещественное число . Каждой точке М плоскости поставим в соответствие точку М' так, чтобы
(1)
Такое отображение является преобразованием плоскости и называется гомотетией. Точка М0 называется центром гомотетии, а число m — коэффициентом гомотетии. Докажем, что гомотетия — преобразование подобия. Действительно, пусть М1, М2 — произвольные точки плоскости, а и
— их образы. Из равенства (1) получаем:
, поэтому
. (2)
Отсюда получаем: . Таким образом, гомотетия с коэффициентом m является преобразованием подобия с коэффициентом подобия
.
При m = 1 из равенства (1) получаем: . Отсюда следует, что любая точка М плоскости совпадает с ее образом, т. е. гомотетия с коэффициентом m = 1 является тождественным преобразованием. При m = — 1 из равенства (1) получаем, что гомотетия — центральная симметрия. В остальных случаях (т. е. когда
) гомотетия — преобразование подобия, отличное от движения, т. е. преобразование плоскости, не сохраняющее расстояния между точками.
Выберем ортонормированный репер (О, Е1, E2) так, чтобы точка О совпала с центром гомотетии. Если М (х, у) —произвольная точка плоскости, а точка M′ (х', у') — ее образ, то из формулы (1) получаем аналитическое выражение гомотетии:. (3)
Рассмотрим простейшие свойства гомотетии.
1) Гомотетия с коэффициентом переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную ей прямую, а прямую, проходящую через центр гомотетии, — в себя.
□ Пусть Ах+Ву+С = 0 — уравнение данной прямой . Подставив сюда значения х, у из (3), получаем уравнение образа
этой прямой: Ах'+By'+Сm = 0. Этим уравнением определяется прямая. Если С ≠ 0, то
||
, а если С = 0, то
и
совпадают.
2) Гомотетия сохраняет простое отношение трех точек.
□ Пусть А, В и С — три точки прямой, а А′, В' и С' — их образы, и
. По определению простого отношения трех точек имеем:
. По формуле (2) получаем:
, где m — коэффициент гомотетии. Следовательно,
. Таким образом,
, т. е. (АВ, С) = (А'В', С').
Из этих свойств следует, что гомотетия переводит отрезок в отрезок, луч в луч и полуплоскость в полуплоскость.
3) Гомотетия переводит угол в равный ему угол.
□ Пусть ВАС — данный угол, а В′ А′ С' — образы точек В, А и С. По формуле (2) получаем:
. (4)
Отсюда следует, что
4) Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.
□ Пусть (А, В, С) — произвольный репер, а (А′, В', С') — его образ. Используя формулы (4), получаем: . Итак, в гомотетии любой репер и его образ ориентированы одинаково, т. е. гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.
Нетрудно доказать, что если и
— преобразования подобия с коэффициентами
и
, то
— преобразование подобия с коэффициентом
. Действительно,
является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек А и В и их образов A' = (
) (А), B' = (
) (В) выполняется равенство A'B'=
AB. Если А1=
(А), B1=(
B), то А' =
(А1), B' =
(B1). По определению подобия А1В1 =
АВ, А'В' =
A1B1, поэтому А'В' =
AB.
Теорема 1. Пусть — преобразование подобия с коэффициентом
, a h — гомотетия с тем же коэффициентом
и с центром в произвольной точке М0. Тогда существует одно и только одно движение
такое, что
. (5)
Рассмотрим преобразование
(6)
Оно является преобразованием подобия с коэффициентом , т.е. движением. Из равенства (6) получаем:
, или
. Таким образом, существует движение
, удовлетворяющая условия (5).
Пусть теперь — произвольное движение, удовлетворяющее равенству
. Отсюда получаем:
. Учитывая равенство (6), мы приходим к выводу, что
=
.
Гомотетия обладает всеми свойствами 1° — 8° движений. Доказанная теорема позволяет заключить, что и преобразование подобия обладает теми же свойствами. Следовательно, имеет место утверждение: преобразование подобия прямую переводит в прямую, параллельные прямые — в параллельные прямые, сохраняет простое отношение трех точек, полуплоскость переводит в полуплоскость, отрезок — в отрезок, луч — в луч. Преобразование подобия угол переводит в равный ему угол, а перпендикулярные прямые — в перпендикулярные прямые.
Итак, доказано, что любое преобразование подобия можно представить в виде (5):
, где
— движение, a
— гомотетия. Так как
сохраняет ориентацию плоскости, т. е. любой репер переводит в репер той же ориентации, то если
сохраняет ориентацию плоскости, то, очевидно, и
сохраняет ориентацию плоскости, а если
меняет ориентацию плоскости, то и
меняет ориентацию плоскости. Таким образом, любое преобразование подобия либо сохраняет ориентацию плоскости, либо меняет ее ориентацию. В первом случае оно называется преобразованием подобия первого рода, а во втором случае — преобразованием подобия второго рода.
Пусть — преобразование подобия коэффициентом
. Выберем прямоугольную систему координат
и найдем аналитическое выражение преобразования
в системе
. Для этого рассмотрим гомотетию
с центром О и коэффициентом
и воспользуемся теоремой 1. Пусть
- движение, удовлетворяющее равенству (5). Запишем в системе
аналитические выражения преобразований
и
:
Таким образом, если М (х, у) — произвольная точка плоскости, а М'(х′, у') — ее образ в преобразовании то
(7)
где =1, если
— преобразование подобия первого рода, и
= — 1, если
— преобразование подобия второго рода. Используя формулы (7), докажем теорему.
Теорема 2. Любое преобразование подобия, отличное от движения, имеет одну и только одну неподвижную точку.
□ Пусть равенства (7) — аналитическое выражение данного преобразования подобия. Точка М (х, у) является неподвижной точкой этого преобразования тогда и только тогда, когда
Рассмотрим определитель этой системы. Если
=1, то
, а если
= — 1, то
. Таким образом, при
для любого
имеем:
. Отсюда следует утверждение теоремы.
Следствие. Любое преобразование подобия, имеющее более чем одну неподвижную точку или не имеющее неподвижных точек, является движением.
Используя доказанную теорему и ее следствие, можно провести классификацию преобразований подобия в зависимости от наличия неподвижных точек и инвариантных прямых.
А. Классификация преобразований подобия первого рода. Пусть f — преобразование подобия первого рода. Если f имеет более чем одну неподвижную точку или не имеет неподвижных точек, то по следствию предыдущей теоремы оно является движением, поэтому — параллельный перенос.
Остается рассмотреть случай, когда преобразование с коэффициентом
имеет только одну неподвижную точку, которую обозначим через О. Пусть
— гомотетия с коэффициентом
и центром О. По теореме 1 существует такое движение
, что
. Так как
и
— подобия первого рода, то
— движение первого рода, причем
. Таким образом,
— поворот вокруг точки О. Возможны три случая.
1) — тождественное преобразование. В этом случае
, т. е.
— гомотетия с положительным коэффициентом
,
.
2) — центральная симметрия. Ясно, что в этом случае
— гомотетия с отрицательным коэффициентом
.
3) — вращение на угол
;
. В этом случае
является произведением гомотетии
на вращение
. Оно называется центрально-подобным вращением.
Таким образом, преобразование подобия, имеющее только одну неподвижную точку, является либо гомотетией с коэффициентом , либо центрально-подобным вращением.
В. Классификация преобразований подобия второго рода. Пусть — преобразование подобия второго рода. Если
имеет более чем одну неподвижную точку или не имеет неподвижных точек, то по аналогии со случаем А мы приходим к выводу, что преобразование
является либо осевой симметрией, либо скользящей симметрией.
Рассмотрим случай, когда преобразование подобия с коэффициентом
имеет только одну неподвижную точку О. Ясно, что
, так как в противном случае
— движение второго рода, но оно не может иметь только одну неподвижную точку. Пусть
— гомотетия с коэффициентом к и центром О. По теореме 1
, где
— движение второго рода. Точка О — неподвижная точка движения
, поэтому
— осевая симметрия. В этом случае
называется центрально-подобной симметрией.
Итак, существует шесть типов преобразования подобия, которые приведены в следующей таблице:
Преобразование пространства называется преобразованием подобия или просто подобием, если существует такое число , что для любых двух точек А и В и их образов А' и В' выполняется равенство
. Число
называется коэффициентом подобия.
При преобразование подобия сохраняет расстояния, т. е. является движением. Следовательно, движение — частный случай подобия. Примером преобразования подобия, отличного от движения, является гомотетия, которая в пространстве вводится точно так же, как и в плоскости. Зададим точку М0 и вещественное число
. Каждой точке М поставим в соответствие точку М' так, чтобы
(1)
Это отображение называется гомотетией с центром Мо и коэффициентом m. Для двух точек M1 и М2 и их образов и
из формулы (1) получаем:
(2)
Отсюда следует, что . Таким образом, гомотетия с коэффициентом m является преобразованием подобия с коэффициентом
.
Выберем ортонормированный репер (О, Е1, Е2, Е3) так, чтобы точка О совпала с центром гомотетии. Если М (х, у, z)—произвольная точка пространства, а точка М' (х′, у′, z′) — ее образ, то из формулы (1) получаем аналитическое выражение гомотетии в пространстве: (3)
Пользуясь формулами (3), можно доказать, что гомотетия переводит плоскость (прямую), не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (прямую), а плоскость (прямую), проходящую через центр гомотетии,— в себя. Аналогично, пользуясь формулой (2), убеждаемся в том, что гомотетия сохраняет простое отношение трех точек. Отсюда следует, что гомотетия переводит отрезок в отрезок, луч — в луч, полуплоскость — в полуплоскость и полупространство — в полупространство. Из формулы (2) следует также, что гомотетия переводит угол в равный ему угол.
Докажем, что гомотетия с коэффициентом m сохраняет ориентацию пространства, если , и меняет его ориентацию, если
. Действительно, пусть (А, В, С, D) — произвольный репер, а (А′, В', С', D') — его образ. По формуле (2) получаем:
,
, поэтому
Отсюда и следует сформулированное выше утверждение.
Теорема 1, сформулированная и доказанная (см. выше), полностью переносится на пространство, т. е. любое преобразование подобия пространства с коэффициентом является произведением гомотетии с тем же коэффициентом
и произвольным центром на некоторое движение. Отсюда следует, что подобие пространства переводит плоскость (прямую) в плоскость (прямую), параллельные плоскости (прямые) —в параллельные плоскости (прямые). Подобие сохраняет простое отношение трех точек, поэтому оно переводит отрезок в отрезок, луч — в луч, полуплоскость — в полуплоскость, полупространство — в полупространство. Подобие переводит угол в равный ему угол, взаимно перпендикулярные прямые (плоскости) — во взаимно перпендикулярные прямые (плоскости).
Точно так же, как и на плоскости, можно доказать, что любое преобразование подобия либо сохраняет ориентацию пространства, либо меняет ее. В первом случае оно называется преобразованием подобия первого рода, а во втором случае — преобразованием подобия второго рода. Таким образом, гомотетия с положительным коэффициентом является преобразованием подобия первого рода, а гомотетия с отрицательным коэффициентом (в частности, центральная симметрия, ) — преобразованием подобия второго рода.