Образование поверхностей перемещением кривых

Подробности

Категория: Геометрия

Документальные учебные фильмы. Серия «Геометрия».

 Плоской кривой называют линию, все точки которой лежат в одной плоскости, определяемой любыми тремя точками этой кривой и не лежащими на одной прямой.
Наиболее часто встречающимися на практике плоскими кривыми являются кривые второго порядка: окружность, эллипс, парабола и гипербола. Порядок кривой определяется степенью их алгебраического уравнения или максимальным числом точек пересечения ее с прямой. Говоря о кривых второго порядка, имеют в виду, что они пересекаются с прямой не более чем в двух точках. К плоским кривым относятся также различные закономерные кривые: синусоида, циклоида, архимедова спираль и другие.
 Известные свойства параллельного проецирования позволяют установить, какие свойства кривых сохраняются у их проекций. Так касательная к кривой проецируется как касательная к ее проекции, а линия пересекающая плоскую кривую- как пересекающая проекцию плоской кривой. При этом число точек пересечения с кривой сохраняется, что означает, что порядок плоской кривой при параллельном проецировании сохраняется.
 Кривую линию называют гладкой кривой, если в каждой из ее точек можно провести только одну касательную t, непрерывно изменяющуюся от точки к точке.
Различают обыкновенные и особые точки кривых. На рисунке кроме обыкновенной точки М, показаны некоторые особые точки: N- точка перегиба, Р- точка возврата первого рода, Q- точка возврата второго рода, R- узловая точка, Т- точка излома. При проецировании все эти особенности точек кривой сохраняются, что позволяет судить о характере плоской кривой по ее проекции.

 Построение проекций плоской кривой линии, лежащей в плоскости общего положения удобно производить при помощи способа совмещения. Построение проекций точек кривой линии выполняют так же, как и для точек плоского многоугольника.
 В конструкторской практике довольно часто встречается построение проекций окружности, поэтому выясним подробнее некоторые свойства ортогональной проекции окружности.
Известно, что параллельной проекцией окружности является кривая, которую называют эллипсом. Так, проецируя окружность с центром в точке О, лежащую в плоскости общего положения Б например на плоскость Г, получим ее проекцию в виде эллипса с центром в точке O_r.

Рассмотрим два взаимно перпендикулярных диаметра окружности: АВ - являющегося линией уровня плоскости Б и CD - совпадающего с линией наибольшего уклона плоскости Б к плоскости Г. Диаметр АВ спроецируется на плоскость Г без искажения в большую ось эллипса А_гВ_г (АВ= А_гВ_г). а диаметр CD - в малую ось эллипса C_rD_r. Если принять угол наклона плоскости Б к плоскости Г равным φ, то C_rD_r=CD cosφ. Оси эллипса взаимно перпендикулярны, поскольку являются проекциями перпендикулярных диаметров окружности, один из которых параллелен плоскости проекций.
 Таким образом, большая ось эллипса, являющегося ортогональной проекцией окружности, лежащей в некоторой плоскости Б, параллельна проекции прямой уровня этой плоскости и равна диаметру окружности, а малая ось - параллельна прямой наибольшего уклона плоскости Б и равна диаметру окружности, помноженному на косинус угла наклона плоскости Б к плоскости проекций.
 Можно дать и другой признак для определения направления осей эллипса. Если построить перпендикуляр n к плоскости Б, то он, будучи перпендикулярен ко всякой прямой этой плоскости, будет перпендикулярен и диаметру АВ окружности. Не будем забывать, что диаметр АВ является линией уровня (горизонталью) плоскости Б. Поэтому ортогональная проекция нормали n на плоскость Г будет перпендикулярна проекции диаметра АВ на эту же плоскость. То есть проекция нормали к плоскости Б параллельна малой оси эллипса.

 Пространственными называют такие кривые, точки которых не лежат в одной плоскости.
 Как и у плоских кривых, у пространственных кривых могут быть особые точки. Но если особенности плоских кривых сохраняются при их проецировании, то у пространственных кривых дело обстоит иначе. На рисунке показаны две проекции некоторой пространственной кривой АВ.

 Каждая проекция имеет узловые точки, в то время как сама кривая таких точек не имеет. Поэтому о свойствах пространственной кривой следует судить не по одному виду (проекции), а по ее комплексному чертежу.
 Так, например, прямая линия является касательной к пространственной кривой только тогда, когда обе проекции прямой являются касательными к соответствующим проекциям кривой в точках, являющихся проекциями точки данной кривой. В то время как для плоской кривой прямая, лежащая в одной с ней плоскости, будет касательной к ней, если хотя бы на одной проекции она касательна к проекции кривой.
 Чаще других в практике встречается винтовая линия и ее частный случай цилиндрическая винтовая линия. В качестве примера можно привести резьбы и пружины. Поэтому рассмотрим эту линию более подробно.
  Если некоторая точка А совершает сложное движение: равномерно перемещается по некоторой прямой, а прямая в свою очередь равномерно вращается вокруг параллельной ей оси, то точка А при этом опишет кривую, называемую цилиндрической винтовой линией.
 Перемещение точки вдоль прямой за один полный оборот последней вокруг оси вращения называют шагом винтовой линии.
На рисунке показано построение проекций винтовой линии, ось i которой перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. В этом случае горизонтальная проекция линии (вид сверху) будет окружностью.

 Для построения вида спереди (фронтальной проекции) проделаем следующее: рассмотрим двенадцать положений точки за один полный оборот. Для этого разделим на двенадцать равных частей окружность и шаг винтовой линии. Тогда в пересечении соответствующих вертикальных линий связи и горизонтальных прямых получим фронтальные проекции точек винтовой линии. Соединив точки плавной кривой, получим фронтальную проекцию винтовой линии, являющуюся синусоидой (это следует из способа ее построения).
 Показанная на рисунке винтовая линия называется правой, так как точка перемещается вправо (по часовой стрелке) при своем движении по поверхности кругового цилиндра. В противном случае винтовая линия является левой.
 Если развернуть поверхность цилиндра вместе с винтовой линией, то ее точки лягут на одну прямую (это следует из самого способа построения). Угол α называют углом наклона винтовой линии.

 В начертательной геометрии (да и не только в ней) основным способом образования поверхностей является кинематический способ.
 В этом случае поверхность рассматривается как совокупность последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по какому либо закону. Сама линия при движении может оставаться неизменной или непрерывно меняться.
 В общем случае поверхность может быть образована направляющей m, перемещающейся по некоторым неподвижным образующим t. Видно, что можно поменять местами образующие и направляющие, при этом получится одна и та же поверхность.

 Каждая поверхность может быть образована разными способами. Так, например, поверхность прямого кругового цилиндра может быть образована так.

Во-первых, вращением прямолинейной образующей t вокруг параллельной ей оси i. Во-вторых, движением образующей окружности m, центр которой перемещается по оси цилиндра i, а плоскость окружности остается перпендикулярной этой оси. В-третьих, вращением около оси i образующей произвольной формы , нанесенной на поверхность цилиндра.
 Из всех возможных способов образования поверхности следует выбирать такие, которые являются наиболее простыми и удобными для изображения.

 Для задания поверхности на комплексном чертеже необходимо иметь на нем такие элементы поверхности, которые позволяют построить каждую ее точку. Совокупность таких элементов поверхности называют определителем поверхности. Часто поверхность задают проекциями ее направляющих и указывают способ построения ее образующих.

Для придания чертежу большей наглядности строят на нем еще и очерк поверхности, а так же ее наиболее важные линии и точки. На рисунке показано построение параллельной проекции поверхности общего вида Д на плоскость проекций Г.

Проецирующие прямые, касающиеся поверхности Д, образуют цилиндрическую поверхность, а точки касания образуют некоторую линию m, называемую контурной линией.

Очерком поверхности называют проекцию ее контурной линии. Иными словами очерк поверхности это граница, которая отделяет проекцию поверхности от остальной части плоскости проекций.

 Поверхностью вращения называют поверхность, описываемую какой либо линией (образующей, в частности прямой) при ее вращении вокруг неподвижной оси.
 Образующая линия может быть как плоской, так и пространственной кривой. Поверхность вращения определяется заданием своей образующей m и оси вращения i .

Каждая точка М образующей m при вращении описывает окружность с центром О на оси i. Эти окружности называют параллелями. Наибольшая и наименьшая параллели называются соответственно экватором и горлом.

 Линии поверхности вращения, плоскость которых проходит через ось вращения i, называют. Принимая во внимание способ образования поверхности ясно, что все меридианы равны между собой.
При изображении поверхности вращения на комплексном чертеже ее обычно располагают так, чтобы ось вращения была перпендикулярна какой либо плоскости проекций (в нашем примере горизонтальной плоскости Г). В этом случае все параллели h проецируются на эту плоскость проекций без искажения, а экватор определяет горизонтальный очерк поверхности.
 Меридиан f, расположенный во фронтальной плоскости, проецируется без искажения на фронтальную плоскость проекций Ф. Этот меридиан называется главным меридианом. Он определяет фронтальный очерк поверхности. Построение любой точки этой поверхности удобно производить при помощи параллели h, проведенной на поверхности на уровне нужной точки.

 При вращении прямой линии могут быть образованы ниже перечисленные поверхности.

Цилиндр вращения образуется вращением прямой t вокруг параллельной ей оси i .

Конус вращения образуется вращением прямой t вокруг пересекающейся с ней оси i .

Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой t вокруг скрещивающейся с ней оси i .

 В этом случае все точки прямой опишут окружности различных радиусов, причем общий перпендикуляр ОА прямых t и i будет наименьшим из всех радиусов, поэтому точка А опишет окружность, являющуюся горлом гиперболоида.
 Для построения главного меридиана гиперболоида нужно повернуть вокруг оси i ряд точек прямой t до совмещения их с фронтальной плоскостью, проходящей через ось i. При этом получим гиперболу, являющуюся фронтальным очерком однополостного гиперболоида.
 Поскольку все три поверхности образованы движением прямой линии, их можно отнести и к классу линейчатых поверхностей. В то же время эти поверхности являются поверхностями второго порядка, так как максимальное число точек пересечения каждой из них с прямой линией равно двум.
 Построение некоторой точки М на любой из рассмотренных поверхностей вращения можно выполнить при помощи параллели h или прямолинейной образующей t.
  Поверхности, образуемые вращением окружности.
Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра.
Тор образуется вращением окружности вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр. Такой тор называют закрытым.

Если же ось вращения i проходит вне окружности, тор называют открытым или кольцом.

Сфера является поверхностью второго порядка, а тор - четвертого, что определяется максимальным числом точек пересечения этих поверхностей с прямой линией.
Построение произвольной точки М на поверхности сферы или тора производят с помощью параллелей h.

 Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка
 Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг его оси i .

Параболоид вращения образуется вращением параболы t вокруг ее оси i. Эта поверхность используется в качестве отражающей поверхности в прожекторах для получения параллельного пучка световых лучей.

 Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы t вокруг ее мнимой оси i. Здесь же показан асимптотический конус вращения, образованный вращением асимптот гиперболы. Однополостный гиперболоид находится во внешней части этого конуса.

Ранее было показано, что однополостный гиперболоид вращения является и линейчатой поверхностью, т.е. может быть образован вращением прямой линии вокруг скрещивающейся с ней оси.

Двуполостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы t вокруг ее действительной оси i . Двуполостный гиперболоид находится во внутренней части асимптотического конуса.

Все четыре рассмотренные выше поверхности являются и поверхностями второго порядка.
Построение некоторой точки М на каждой из этих поверхностей производится при помощи их параллелей h.