Геометрия 7-9 классы. 1. Основные свойства простейших фигур

Подробности

Категория: Геометрия 7-9 класс

Видеоуроки математики для школьников и абитуриентов помогут Вам ликвидировать пробелы в знаниях, подготовиться к контрольным, тестам, ГИА, ЕГЭ, ВНО (ЗНО), изучить математику, что называется, "с нуля", систематизировать имеющиеся знания.

Геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое. В переводе на русский язык обозначает землемерие. Такое название связано с применением геометрии для измерений на местности.

Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность (рис. 1).

Геометрические фигуры могут быть весьма разнообразны. Часть любой геометрической фигуры является геометрической фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур есть снова геометрическая фигура. На рис. 2 фигура слева составлена из треугольника и трех квадратов, а фигура справа состоит из окружности и частей окружности. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек.

Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости, называется планиметрией. Мы начнем изучение геометрии с этого раздела.

Основные геометрические фигуры на плоскости.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. На чертеже точки и прямые наносятся остро отточенным карандашом. Для того чтобы изображение точки было отчетливым, ее обводят малым кружком. Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D ... Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, ... Ha рис. 3 вы видите точку А и прямую а.

Основные свойства принадлежности точек и прямых на плоскости.

Посмотрите на рис. 4. Вы видите прямые a, b и точки А, В, С. Точки A и С лежат на прямой а. Можно сказать также, что точки А и С принадлежат прямой а или что прямая а проходит через точки A и С.

Точка В лежит на прямой a. Она не лежит на прямой а. Точка С лежит и на прямой а и на прямой b. Прямые а и b пересекаются в точке С. Точка С является точкой пересечения прямых а и b.

Для построения прямых на чертеже пользуются линейкой. На рис. 5 вы видите, как с помощью линейки строится прямая, проходящая через две заданные точки А и В.

Основными свойствами принадлежности точек и прямых мы будем называть следующие два свойства.

I₁). Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие прямой, и точки, не принадлежащие прямой.

I₂). Каковы бы ни были две точки, существует и притом только одна прямая, проходящая через эти точки.

Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней. Например, прямую а на рис. 4 можно обозначить АС, а прямую b можно обозначить ВС.

Основные свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоскости. Посмотрите на рис. 6. Вы видите прямую а и три точки на этой прямой: А, В, С.

Точка В лежит между точками A и С. Точки A и С лежат по разные стороны от точки В. Точки A и С разделяются точкой В. Точки А и В лежат по одну сторону от точки С. Точки В и С лежат по одну сторону от точки Л.

Пусть на прямой а лежат различные точки A и В (рис. 7). Отрезком АВ называется часть прямой а, точками которой являются точки А и В и все точки X прямой а, лежащие между А и В. Точки A и В называются концами отрезка.

Посмотрите на рис. 8. Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости.

Точки А и В лежат в одной полуплоскости. Отрезок А В не пересекается с прямой а. Точки A₁ и В₁ лежат в разных полуплоскостях. Отрезок A₁B₁ пересекается с прямой а. Полуплоскости мы будем обозначать греческими буквами а, β, γ, ...
Основными свойствами расположения точек на прямой й плоскости мы будем называть следующие два свойства.

II₁.) Из трех точек на прямой одна и только одна лежат между двумя другими.

II₂.) Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат« одной полуплоскости, то отрезок не пересекается с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекается с прямой.

Основные свойства измерения отрезков и углов.

Для измерения отрезков применяются различные измерительные инструменты. Простейшим инструментом является линейка с делениями на ней. На рис. 9 отрезок АВ равен 10 см, отрезок АС равен 6 см, отрезок ВС равен 4 см. Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС.

Основными свойствами измерения отрезков мы будем называть следующие свойства.

III₁.) Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.

III₂.) Если точка С прямой А В лежит между точками А и В, то длина отрезка А В равна сумме длин отрезков АС и ВС.

Посмотрите на рис. 10. Вы видите прямую а и точку А на ней. Проведем через точку А какую-нибудь прямую b, отличную от а. Она разбивает плоскость на две полуплоскости. Часть прямой а, лежащая в одной из этих полуплоскостей, называется полупрямой, или лучом. Точка А называется начальной точкой полупрямой. Разбиение прямой а на полупрямые не зависит от прямой b. Оно вполне определяется точкой А Полупрямые обозначаются строчными латинскими буквами. Можно обозначать полупрямую двумя точками: начальной точкой и еще какой-нибудь точкой, принадлежащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на первом месте. Например, полупрямую а на рис. 11 можно обозначить АВ.

Углом называется фигура, которая состоит из двух полупрямых, не лежащих на одной прямой, с общей начальной точкой. Эта точка называется вершиной угла, а полупрямые — сторонами угла. На рис. 12 вы видите угол с вершиной О и сторонами а, Ь. Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трех точек: вершины и двух точек на сторонах. Слово «угол» часто заменяют значком  . Например, угол на рис. 12 можно обозначить тремя способами:, . В третьем способе обозначения угла вершина ставится посредине.

 Посмотрите на рис. 13. Мы будем говорить, что полупрямая с проходит между сторонами а, b угла (а, b), если она пересекает какой-нибудь отрезок АВ с концами на сторонах угла.

Углы измеряются в градусах при помощи транспортира. На рис. 14 угол (а, b) равен 120°. Полупрямая с проходит между сторонами угла (a,b). Угол (а, с) равен 90°, а угол (b, с) равен 30°. Угол (а, b) равен сумме углов (а, с) и (b, с).

Основными свойствами измерения углов мы будем называть следующие свойства.

III₃.) Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля и меньшую 180°.

III₄.) Если луч с исходит из вершины угла (а, b) и проходит между его сторонами, то угол (а, b) равен сумме углов (а, с) и (b, с).

Основные свойства равенства простейших фигур. Посмотрите на рис. 15. Здесь показано, как с помощью линейки на полупрямой с начальной точкой А можно отложить отрезок данной длины (3 см).

Посмотрите на рис. 16. Полупрямая а, будучи продолжена за начальную точку, разбивает плоскость на две полуплоскости. На рисунке показано, как отложить в верхнюю полуплоскость от полупрямой а угол, заданный в градусах, при помощи транспортира.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. На рис. 17 вы видите треугольник с вершинами А, В, С и со сторонами АВ, ВС, АС. Треугольник обозначается его вершинами.

 Вместо слова «треугольник» часто употребляют значок . Например, треугольник на рис. 17 обозначается так:

Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину. Два угла называются равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах. Треугольники АВС и A₁B₁C₁ называются равными, если у них

Посмотрите на рис. 18. Вы видите два треугольника АВС и A₁B₁C₁. Эти треугольники построены так, что у них . Если движением совместить вершины А и А₁ полупрямые АВ и А₁В₁, АС и A₁С₁, то вершины В и B₁ С и С₁ также совместятся, т, е. треугольники АВС и A₁B₁C₁ равны.

Следующие три свойства мы будем называть основными свойствами равенства простейших фигур.

IV1.) Каково бы ни было положительное число m, на данной полупрямой из ее начальной точки можно отложить отрезок, равный m.

IV2.) Каково бы ни было положительное число n, меньшее 180, от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить угол, равный n градусов.

IV3.) Если у двух треугольников АВС и , то треугольники равны, т. е. .

Свойство IV₃ называется первым признаком равенства треугольников.

Основное свойство параллельных прямых.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. При этом прямые считаются неограниченно продолженными в обоих направлениях, На рис. 19 показано, как с помощью угольника и линейки провести через данную точку В прямую b, параллельную прямой а.

Основное свойство параллельных: прямых состоит в следующем.

V. Через данную точку В, не лежащую на данной, прямой а, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной прямой а.