Геометрия и механика

Подробности

Категория: Геометрия

Документальные учебные фильмы. Серия «Геометрия».

 Приходится констатировать, что в конце XX века мы все еще не имеем строгих математических основ неавтономной и релятивистской механик, в отличие от симплсктичсской механики консервативных систем. Такие основные понятия механики, как сила, система отсчета, энергия и др. нуждаются в математической формализации.
 Как известно, гамильтонова механика консервативных систем, когда гамильтонианы не зависят явно от времени, адекватно формулируется в терминах симплектических многообразий. Стандартным примером служит механическая система, пространством событий которой является многообразие М, а фазовым пространством — кокасательное расслоение Т*М к М. Последнее наделено канонической симплектической формой

            (1)

записанной в голономных координатах . Гамильтониан системы представляет собой вещественную функцию на Т*М, а траекториями движения являются интегральные кривые гамильтонова векторного поля

на Т*М, которые удовлетворяют уравнениям Гамильтона

     (2)

 Такая формулировка, однако, не допускает прямой экстраполяции на неавтономную и релятивистскую механики, поскольку симплектическая форма (1) не инвариантна относительно зависящих от времени преобразований, включая переходы между взаимно инерциальными системами отсчета. Поэтому для описания неконсервативных систем обычно используют лагранжев формализм. Однако лагранжев и гамильтонов формализмы в общем случае неэквивалентны как с физической, так и с математической точек зрения.
 Например, в классической механике наблюдаемыми величинами являются скорости, а не импульсы, тогда как в квантовой механике наоборот — именно импульсы, а не скорости. В гамильтоновой механике нет понятия силы.
В математическом аспекте лагранжева и гамильтонова формулировки механики эквивалентны только для гиперрегулярных лагранжианов, когда преобразование Лежандра от скоростей к импульсам является диффеоморфизмом конфигурационного и фазового пространств. В случае вырожденного лагранжиана необходимо рассмотреть, как правило, семейство гамильтонианов и уравнений Гамильтона, чтобы воспроизвести решения уравнений Лагранжа.
 В качестве пространства событий в неавтономной механике обычно выбирается произведение
           (3)

где М — некоторое многообразие, а вещественной прямой К придается смысл оси времени. Такому пространству событий соответствует конфигурационное пространство

               (4)

и фазовое пространство

            (5)

где ТМ и Т*М обозначают соответственно касательное и кокасательное расслоения к многообразию М.

Замечание 1. Отметим различия в терминологии, встречающиеся в литературе. Часто конфигурационным пространством называют именно пространство координат механической системы Y.
 С физической точки зрения выбор прямого произведения (З) в качестве пространства событий означает фиксацию абсолютной инерциальной системы отсчета. При этом фазовое пространство (5) наделяется пресимплектичсской формой

             (6)

индуцированной на нем канонической симплектической формой (1) на Т*М. Зависящий от времени гамильтониан представляется вещественной функцией на а траекториями движения являются интегральные кривые временезависимого гамильтонова векторного поля

удовлетворяющего уравнениям Гамильтона типа (2).

Проблема заключается в том, что расщепления (3)-(5) нарушаются при временезависимых преобразованиях, а форма (6) на фазовом пространстве неавтономной механики не является канонической и тоже не сохраняется при таких преобразованиях.
 Наш подход состоит в том, чтобы описать неавтономную механику как частный случай классической теории поля на расслоениях над 1-мерной базой .
 Геометрический аппарат классической теории поля хорошо разработан. Этот аппарат основан на представлении классических полей сечениями расслоенных многообразий Y → X. Конфигурационным пространством полей в таком подходе является конечномерное многообразие струй J′Y сечений . На нем строится лагранжев формализм классической теории поля. Его гамильтоновым партнером является полисимплектический гамильтонов формализм на расслоении Лежандра

когда канонические импульсы соответствуют производным полевых функций по всем пространственно-временным координатам.

Частный случай геометрической теории поля приводит нас к формулировке неавтономной механики на расслоенном многообразии

          (7)

с координатами , которое имеет смысл пространства событий в нерелятивистской механике.

Замечание 2. В нерелятивистской механике база — ось абсолютного времени, параметризуемая координатой t с функциями перехода t' = t + const. При такой параметризации наделяется стандартным векторным полем и стандартной 1-формой . Последняя является также элементом объема на .
 Конфигурационным пространством нерелятивистской неавтономной механики в таком подходе служит многообразие струй сечений расслоения (7), параметризуемое координатами . Имеет место каноническое вложение

                (8)

этого конфигурационного пространства в касательное расслоение TY к Y. Мы будем отождествлять с его образом в TY. Это существенно упрощает многие конструкции, а также ведет к важным физическим следствиям. В частности, именно вложение (8) позволяет трактовать многообразие струй как конфигурационное пространство.
 Фазовым пространством нерелятивистской неавтономной механики является расслоение Лежандра — вертикальное кокасательнос расслоение к пространству событий с голономными координатами . Оно наделено канонической 3-формой

             (9)

которая представляет собой частный случай для канонической полисимплектической формы. Она инвариантна относительно произвольных автоморфизмов расслоенного многообразия и индуцированных ими голономных преобразований фазового пространства V*Y.
 В неавтономной гамильтоновой механике каноническая 3-форма играет ту же роль, что каноническая симплектическая форма (1) в симплектической механике. Форма (9) задает каноническую структуру Пуассона на фазовом пространстве неавтономной механики и приводит к ее гамильтоновой формулировке в терминах гамильтоновых связностей и гамильтоновых форм. Эта формулировка согласуется с лагранжевым формализмом неавтономной механики и эквивалентна ему в случае гиперрегулярных лагранжианов.
 Одна из главных особенностей гамильтоновой неавтономной механики, в сравнении с механикой консервативных систем, состоит в том, что гамильтониан как геометрический объект на фазовом пространстве неавтономной механики не является функцией. К нему не применима операция скобок Пуассона. Поэтому, в частности, уравнение эволюции в неавтономной механике не сводится к скобкам Пуассона, а интегралы движения не могут быть определены как функции на фазовом пространстве, находящиеся в инволюции с гамильтонианом. По этой же причине в неавтономной механике не применима и известная процедура описания систем со связями, использующая скобки Пуассона гамильтониана с уравнениями связи.
 При рассмотрении лагранжевых связей, когда пространством первичных связей является образ конфигурационного пространства в фазовом пространстве при переходе от скоростей к импульсам. Именно такие связи возникают в моделях с вырожденными лагранжианами. Специфика этих моделей состоит в том, что такому лагранжиану, как правило, соответствует нс один, как в регулярном случае, а некоторое семейство гамильтонианов. Таким образом, это своего рода многогамильтоновы системы.
 В дальнейшем ради простоты мы будем предполагать, что пространство событий является расслоением с типичным слоем М. Тогда оно тривиально. При этом разные тривиализации
(10)

отличаются друг от друга проекциями , тогда как проекция в нерелятивистской механике всегда остается одной и той же. При заданной тривиализации пространства событий (10), имеют место соответствующие тривиализации конфигурационного и фазового пространств

 С физической точки зрения, тривиализация пространства событий (10) определенным образом отделяет время от других параметров механической системы и описывает некоторую систему отсчету в нерелятивистской механике. Таким образом, следуя геометрическим методам теории поля и в отличие от принятого до сих пор подхода, мы формулируем механику в произвольной системе отсчета, не предполагая существования абсолютного пространства и абсолютной инерциальной системы отсчета. Мы покажем, что всякая тривиализация пространства событий (10) отвечает некоторой полной связности

на расслоении , которая, благодаря каноническому вложению (8), задает поле скоростей

“наблюдателя” на пространстве событий Y. В результате развиваемая в рамках геометрического подхода формулировка механики оказывается ковариантной относительно преобразований систем отсчета. Это важно для анализа различных явлений, связанных с системами отсчета — сил инерции, закона сохранения энергии и др. По аналогии с калибровочной теорией поля, можно говорить о своего рода калибровочной механике.
 Несмотря на общность описания в терминах расслоений, имеет место принципиальное отличие механики от теории поля, которое состоит в том, что, поскольку база расслоения одномерна, кривизна связностей на нем всегда тождественно равна 0, и эти связности, в отличие от калибровочных потенциалов в теории поля, не являются динамическими объектами. Для них нельзя построить, говоря языком теории поля, калибровочно инвариантный лагранжиан. Поэтому лагранжианы в механике не инвариантны, а только ковариантны относительно временезависимых преобразований, если даже это преобразования между взаимно инерциальными системами отсчета. Кстати, именно это обстоятельство позволяет сформулировать понятие взаимно инерциальных систем отсчета, которое не является абсолютным, а зависит от механической системы и ее лагранжиана.
 Отметим, что связности играют ключевую роль в формулировке неавтономной механики. Связности на описывают, как уже отмечалось, системы отсчета. Всякая голономная связность на расслоении задает уравнение движения второго порядка; ему отвечает динамическая связность на расслоении струй . Интегральные кривые гамильтоновых связностей на расслоении Лежандра являются траекториями движения механической системы в фазовом пространстве.
 В отличие от нерелятивистского случая, в релятивистской механике не предполагается какой-либо выделенной проекции пространства событий Z на ось времени . Допускаются преобразования временной координаты, произвольно (а не только по лоренцевскому закону) зависящие от других координат системы. Конфигурационным пространством такой механической системы является многообразие струй одномерных подмногообразий многообразия событий Z. Это обобщает используемое в нерелятивистской механике понятие струй сечений расслоения. Расслоение струй оказывается проективным расслоением, и мы приходим к общей формулировке релятивистской механики, частным случаем которой является специальная теория относительности на пространстве событий . При этом конфигурационное пространство релятивистской механики приобретает смысл пространства нерелятивистских скоростей, а касательное расслоение к пространству событий — пространства релятивистских скоростей, наделенного псевдоримановой метрикой.