Взаимное пересечение поверхностей простых форм

Подробности

Категория: Геометрия

Документальные учебные фильмы. Серия «Геометрия».

 В общем случае линия пересечения двух поверхностей представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на несколько частей. Эти части могут быть и плоскими кривыми.
 Линию пересечения поверхностей обычно строят по ее отдельным точкам. Общим способом построения этих точек является способ поверхностей-посредников. Суть способа в следующем. Обе данные поверхности пересекаются вспомогательной поверхностью; затем определяются линии пересечения данных поверхностей и вспомогательной поверхности, после чего на пересечении этих линий определяются точки, принадлежащие одновременно обеим данным поверхностям, т.е. их линии пересечения.
 Чаще всего в качестве поверхностей-посредников применяют плоскости или сферы. Исходя из этого различают следующие способы построения точек линии пересечения двух поверхностей:
•    способ вспомогательных плоскостей, разделяющийся на способы вспомогательных проецирующих плоскостей и вспомогательных плоскостей общего положения;

•    способ вспомогательных сфер, разделяющийся на способы концентрических и эксцентрических сфер.

 Применение того или иного способа зависит от типа данных поверхностей и их взаимного расположения.
 Способ вспомогательных проецирующих плоскостей применяют тогда, когда обе поверхности можно пересечь по графически простым линиям (прямым или окружностям) некоторой совокупностью проецирующих плоскостей, в частности плоскостями уровня.
 Способ вспомогательных плоскостей общего положения применяют при построении линии пересечения конических (пирамидальных) и цилиндрических (призматических) поверхностей общего вида.
 Способ вспомогательных концентрических сфер применяют для построения точек линии пересечения поверхностей вращения при соблюдении следующих условий:
• поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную какой-либо плоскости проекций;

• каждая из поверхностей содержит семейство окружностей, по которым ее могут пересекать вспомогательные сферы, общие для обеих поверхностей;

•оси поверхностей вращения пересекаются в некоторой точке. Способ вспомогательных эксцентрических сфер применяют для построения точек линии пересечения поверхностей вращения при соблюдении почти тех же условий, кроме последнего:

•оси поверхностей вращения скрещиваются.

 В тех случаях, когда линия пересечения поверхностей второго порядка распадается на плоские кривые и заранее известен вид кривых, можно построить эти кривые по их основным элементам, не прибегая к трудоемкому построению линии пересечения по точкам.
 Если хотя бы одна из пересекающихся поверхностей является проецирующей поверхностью, то построение линии пересечения упрощается, поскольку в этом случае одна из проекций линии пересечения уже имеется на чертеже - она совпадает с изображением «вырожденной» в линию поверхности. Поэтому при пересечении некоторой поверхности с цилиндрической или призматической поверхностями полезным бывает предварительное преобразование последних в проецирующие.
 Независимо от способа построения линии пересечения, следует соблюдать определенную последовательность нахождения точек этой линии. У линии пересечения поверхностей различают опорные и случайные точки.  Проекции линии пересечения всегда находятся в пределах площади наложения одноименных проекций пересекающихся поверхностей.
 Построение линии пересечения начинают с нахождения опорных точек. Они позволяют определить пределы расположения проекции линии пересечения и зоны, где имеет смысл находить случайные точки для более точного построения линии пересечения.
Определение видимости линии пересечения проводят отдельно для каждого участка, ограниченного точками видимости. Видимость участка совпадает с видимостью любой случайной точки этого участка.

 Построение точек линии пересечения поверхностей указанным способом состоит в проведении проецирующих плоскостей, пересекающих обе данные поверхности по графически простым линиям (прямым или окружностям). Пересечение этих линий, принадлежащих разным поверхностям и лежащим в одной секущей плоскости, определяет точки общие для обеих поверхностей - точки принадлежащие линии их пересечения.
 Учитывая принадлежность графически простых линий одной проецирующей плоскости, можно трактовать указанный способ и как способ конкурирующих линий, проводимых на данных пересекающихся поверхностях.
 Следовательно, если у пересекающихся поверхностей имеются семейства графически простых линий, лежащих в проецирующих секущих плоскостях (или конкурирующих друг с другом), то точки пересечения этих линий и будут точками искомой линии пересечения.
 Рассмотрим несколько примеров построения линии пересечения поверхностей указанным способом.

 Пример 1. Построить линию пересечения конуса вращения и цилиндра вращения, оси которых скрещиваются.

     

 Если пересекать обе поверхности горизонтальными плоскостями, то на поверхности цилиндра появятся образующие (прямые линии), а на конусе - его параллели (окружности). На виде спереди (фронтальной проекции) эти линии будут конкурировать; на виде сверху (горизонтальной проекции) окружности (параллели конуса) будут изображаться без искажений.
 Для начала определим опорные точки. На виде сверху (горизонтальной проекции) для цилиндра точками видимости являются точки А и В, которые одновременно будут и самыми дальними точками линии пересечения. Эти точки находятся на пересечении контурной образующей цилиндра и и конкурирующей с ней параллелью конуса . У конуса точек видимости на виде сверху нет, поскольку вся его поверхность здесь видима.
 На виде спереди (фронтальной проекции) точки видимости для цилиндра C,D и E,F находятся на пересечении контурных образующих цилиндра и  и конкурирующих с ними параллелей конуса  и . При этом точки С и D будут высшими точками линии пересечения, а точки Е и F- низшими. Для конической поверхности здесь точками видимости будут точки находящиеся на пересечении контурных образующих конуса и конкурирующих с ними образующих цилиндра . При этом фронтальные проекции образующих построены с помощью вида слева (профильной проекции).
 Точки М и N найдены на пересечении контурной образующей конуса с окружностью, в которую «вырождается» поверхность цилиндра на виде слева.
 После нахождения опорных точек можно построить несколько случайных, например P,Q,R и Т, уточняющих линию пересечения поверхностей. Эти точки находятся на пересечении образующих цилиндра и конкурирующей с ними параллели конуса h9.
 Построив аналогично достаточное количество случайных точек, соединим их в определенной последовательности, учитывая условия видимости. В нашем примере видимость проекций линии пересечения определяется цилиндрической поверхностью. Поэтому видимыми будут только те ее участки, которые расположены на видимой части цилиндрической поверхности.

Частные случаи пересечения

 Если при построении линии пересечения двух поверхностей хотя бы одна из них является проецирующей, следует использовать «вырождение» проекции этой поверхности в линию.
 Построение линии пересечения в этом случае значительно упрощается, поскольку линия пересечения поверхностей уже имеется на чертеже - она совпадает с «вырожденной» в линию поверхностью. Другая проекция линии пересечения легко определяется с помощью графически простых линий второй поверхности.
 

Пример 2. Построить линию пересечения двух цилиндров вращения со скрещивающимися осями, поверхность одного из которых является проецирующей.

 В данном случае одна из проекций линии пересечения (горизонтальная) уже имеется, она совпадает с дугой АВ окружности, в которую «вырождается» поверхность вертикально расположенного цилиндра.
Для построения фронтальной проекции (вида спереди) линии пересечения построим фронтальные проекции определяющих ее точек при помощи образующих второго цилиндра (прямых линий).
 Опорные точки А и В (дальняя и ближняя) находятся на дальней и ближней образующих наклонного цилиндра, совпадающих на виде спереди (фронтальной проекции) с его осью.
Точки С и D (высшая и низшая) являются одновременно и точками видимости наклонного цилиндра на виде спереди (фронтальной проекции).
Точки Е и F (самые левые) являются точками видимости для вертикального цилиндра на виде спереди (фронтальной проекции). Для нахождения их фронтальных проекций удобно построить дополнительный вид наклонного цилиндра на плоскость, перпендикулярную образующим цилиндра. Здесь цилиндр проецируется в окружность, и проекции точек легко определяются с помощью глубины (отмеченной одним штрихом), замеренной на виде сверху.
 Построим несколько случайных точек линии пересечения, например точки М и N. Их так же удобно находить при помощи имеющегося дополнительного вида. Для определения положения их проекций используем замеренную на виде сверху глубину, отмеченную двумя штрихами.
Видимость линии пересечения определяется точками видимости С и D наклонного цилиндра, расположенного ближе, чем вертикальный.
На выносном элементе показана форма линии пересечения в зоне точек Е и С. В нижней части, в зоне точек D и F, линия пересечения выглядит аналогично.
Рассмотрим пример, когда на чертеже нет «вырожденных» видов поверхностей, но имеется возможность при помощи преобразования чертежа его получить.

Пример 3. Построить линию пересечения сферы и треугольной призмы.

Грани призмы являются плоскостями, поэтому линия пересечения указанных поверхностей будет состоять из дуг окружностей, соединяющихся между собой в точках пересечения ребер призмы со сферой.
 В этом случае (как и в других, при построении линии пересечения многогранной и кривой поверхностей) задача сводится к последовательному решению задачи о пересечении кривой поверхности с прямой и плоскостью, где пользуются вспомогательными проецирующими плоскостями, приводящими к построению конкурирующих линий.
 Для упрощения построений преобразуем чертеж, построив дополнительный вид на плоскость, перпендикулярную боковым ребрам призмы. Дополнительная плоскость будет фронтально проецирующей, так как ребра призмы являются фронталями. На дополнительном виде боковая поверхность призмы «вырождается» в треугольник, что облегчает построение линии пересечения ее со сферой.
 При помощи фронталей f₁ и f₂ сферы, конкурирующих с боковыми ребрами призмы, находим точки А,В и C,D пересечения ребер призмы со сферой. Затем строим линии пересечения сферы с каждой из боковых граней призмы.
Чтобы не загромождать чертеж лишними построениями, подробно рассмотрим построение линии пересечения сферы только с одной гранью призмы, видимой на обеих основных проекциях.
 Сначала находим точку V - центр окружности, являющейся искомой линией пересечения. Для этого на дополнительном виде из центра сферы О опустим перпендикуляр на линию GH. После нахождения дополнительной проекции точки V, легко находятся и ее основные (фронтальная и горизонтальная) проекции.
 Отрезок GH дополнительного вида определяет величину диаметра искомой окружности. Эллипс, в который проецируется эта окружность на виде спереди (фронтальной проекции), определяется своими осями EF и GH. Ось EF при этом равна диаметру окружности (т.е. отрезку GH). С помощью дополнительной проекции находятся и точки видимости К и L для вида спереди.
 Чтобы построить горизонтальную проекцию (вид сверху) указанной окружности, так же являющуюся эллипсом, необходимо построить горизонтальные проекции ее взаимно перпендикулярных диаметров EF и GH. Горизонтальные проекции этих диаметров будут сопряженными диаметрами эллипса, с помощью которых можно построить и сам эллипс.
 В завершении нужно определить точки видимости М и N для горизонтальной проекции этой части линии пересечения. Они построены при помощи прямой 1-2, лежащей в рассматриваемой грани и конкурирующей с экватором сферы.

 Пример 4. Рассмотрим технический пример построения линий перехода (пересечения) цилиндров вращения разных диаметров при пересекающихся осях.


 Опорные точки в этом случае определяются просто. Для построения же нескольких случайных точек линии перехода используем построение дополнительных видов для наклонного и горизонтально расположенного цилиндров. Положение дополнительных плоскостей выбираем перпендикулярное осям цилиндров, в этом случае поверхности цилиндров будут проецирующими по отношению к ним.

 Как отмечалось ранее, указанный способ рекомендуется применять при построении линии пересечения конических и цилиндрических поверхностей общего вида, а также поверхностей пирамид и призм. Вспомогательные секущие плоскости выбирают так, чтобы они пересекали обе поверхности по их образующим. Поскольку данные поверхности являются поверхностями общего вида, то и секущие плоскости также будут плоскостями общего положения.
 В случае пересечения двух конусов эти плоскости должны проходить через прямую, соединяющую их вершины.
При пересечении конической и цилиндрической поверхностей вспомогательные секущие плоскости должны проходить через прямую, проведенную через вершину конуса и параллельную образующим цилиндра.

 В случае пересечения двух цилиндрических поверхностей вспомогательные плоскости должны быть параллельны некоторой плоскости параллелизма, определяемой двумя пересекающимися прямыми, параллельными образующим цилиндрических поверхностей.
 При указанном выборе вспомогательных поверхностей они пересекут обе заданные поверхности по их образующим. Точки пересечения этих образующих и будут точками линии пересечения поверхностей.

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 1. Построить линию пересечения конической и цилиндрической поверхностей общего вида.

 Применим дополнительное параллельное проецирование по направлению s, параллельному образующим цилиндра. Строим на плоскости Г дополнительную проекцию вершины конуса Т, через которую пройдут дополнительные проекции всех образующих конуса.
 Сначала проведем дополнительные проекции Т-1, Т-2 и Т-3 крайних образующих конуса, на пересечении которых с дополнительной проекцией цилиндра получаем дополнительные проекции точек линии пересечения А=В, С и D. Проведя через эти проекции обратные лучи до пересечения с соответствующими горизонтальными проекциями крайних образующих Т-1, Т-2 и Т-3, получим горизонтальные проекции А, В, С и D точек линии пересечения. Фронтальные проекции указанных точек легко строятся при помощи тех же образующих конуса Т-1, Т-2 и Т-3.
 Теперь внутри угла, определяемого дополнительными проекциями крайних образующих конуса, проводим дополнительные проекции промежуточных (случайных) образующих конической поверхности. На пересечении их с дополнительной проекцией цилиндра на плоскости Г получаем дополнительные проекции случайных точек линии пересечения.
 При определении случайных точек линии пересечения предварительно необходимо построить ее точки видимости. Для этого нужно внутри указанного угла провести дополнительные проекции контурных и тех образующих конуса, которые пересекаются с контурными образующими цилиндра.
 На нашем примере показано построение дополнительных проекций промежуточных образующих конуса Т-4 и Т-5, на пересечении которых с дополнительной проекцией цилиндра на плоскость Г находятся дополнительные проекции E=F и G=H точек линии пересечения. Обратным проецированием строим основные проекции указанных точек. Нужно отметить, что если точки G и Н являются случайными, то точки Е и F- точки видимости для цилиндрической поверхности на виде спереди (фронтальной проекции).
 Последовательность соединения отдельных точек линии пересечения поверхностей легко устанавливается по ее дополнительной проекции: C-G-A-E-D-F-B-H-C.
 Определение видимости линии пересечения производится по ее отдельным участкам, заключенным между точками видимости. При этом нужно определять видимость какой-либо случайной точки рассматриваемого участка. Видимой будет та точка, которая принадлежит видимым образующим обеих поверхностей.

 В заключение следует отметить, что если основания поверхностей в некоторой предлагаемой задаче будут располагаться в разных плоскостях, то в качестве плоскости для дополнительного проецирования следует выбрать плоскость одного из оснований поверхностей. Остальные рассуждения и построения будут схожи с описанным случаем.