Алгебра 7-9 классы. 7. Формулы сокращенного умножения
- Подробности
- Категория: Алгебра 7-9 классы
УМНОЖЕНИЕ РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИИ НА ИХ СУММУ
Умножим разность 
на сумму 
:
Значит,
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
Тождество выше является одной из формул сокращенного умножения. Эта формула позволяет сокращенно выполнять умножение разности выражений на их сумму. Например:
РАЗЛОЖЕНИЕ РАЗНОСТИ КВАДРАТОВ НА МНОЖИТЕЛИ
Поменяем местами в тождестве 
правую и левую части. Получим:
Это тождество называют формулой разности квадратов.
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.
Формула разности квадратов применяется для разложения на множители разности квадратов любых двух выражений.
Разложим» например, на множители двучлен 
. Представив этот двучлен в виде разности квадратов и применив формулу
, получим:
ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИИ
Рассмотрим еще две формулы сокращенного умножения. Возведем в квадрат сумму 
. Для этого представим выражение 
в виде произведения 
и выполним умножение:
Значит,
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
Тождество (1) называют формулой квадрата суммы. Эта формула позволяет упрощать возведение в квадрат суммы двух выражений. Например,
Рассмотрим теперь квадрат разности а
. Так как разность можно представить в виде суммы 
то по формуле квадрата суммы имеем:
Значит,
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
Тождество (2) называют формулой квадрата разности. Эта формула позволяет упрощать возведение в квадрат любой разности. Например,
Заметим, что тождество (2) можно получить и умножением 
на по правилу умножения многочлена на многочлен.
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ КВАДРАТА СУММЫ И КВАДРАТА РАЗНОСТИ
Формулы квадрата суммы и квадрата разности дают возможность не только упрощать возведение в квадрат суммы и разности, но и раскладывать на множители выражения вида 
.
Действительно, поменяв местами в этих формулах левую и правую части, получим:
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Разложим на множители трехчлен 
.
Первое слагаемое представляет собой квадрат выражения 3х, третье — квадрат числа 5. Так как второе слагаемое равно удвоенному произведению Зх и 5, то этот трехчлен можно представить в виде квадрата суммы Зх и 5:
Пример 2. Разложим на множители многочлен 
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕ К СУММЕ И РАЗНОСТИ КУБОВ
Умножим сумму 
на выражение 
Мы получили тождество
Выражение 
напоминает трехчлен 
, который равен квадрату разности а и b. Однако в этом выражении вместо удвоенного произведения а и Ъ стоит просто их произведение. Выражение вида 
называют неполным квадратом разности.
Полученное тождество представляет собой формулу сокращенного умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности.
Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.
Пример 1. Представим в виде многочлена произведение 
Так как первый множитель есть сумма выражений m и Зn, а второй — неполный квадрат их разности, то данное произведение равно сумме кубов этих выражений:
Преобразуем теперь в многочлен произведение разности 
и выражения 
, которое называют неполным квадратом суммы а и b:
Мы получили тождество
Это тождество представляет собой формулу сокращенного умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы.
Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.
Пример 2. Представим в виде многочлена выражение 
Это выражение является произведением разности двух одночленов и неполного квадрата их суммы. Поэтому
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ СУММЫ И РАЗНОСТИ КУБОВ
Поменяем в тождестве 
местами левую и правую части. Получим:
Это тождество называют формулой суммы кубов.
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.
Формула суммы кубов применяется для разложения на множители суммы кубов любых двух выражений.
Пример 1. Разложим на множители многочлен 
.
Данный многочлен можно представить в виде суммы кубов двух выражений:
Применив формулу суммы кубов, получим:
Итак,
Аналогично может быть получена формула разности кубов. Поменяв местами в формуле 
левую и правую части, будем иметь:
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.
Пример 2. Разложим на множители многочлен 
.
Представим данный многочлен в виде разности кубов двух выражений и, применив формулу, получим:
ПРИМЕНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ
Для разложения многочлена на множители иногда приходится применять несколько способов.
Пример 1. Разложим на множители многочлен 
Все члены многочлена имеют общий множитель 2х. Вынесем этот множитель за скобки:
Трехчлен 
можно представить в виде квадрата суммы Зх и 1. Поэтому
Итак,
Пример 2. Разложим на множители многочлен
Сначала вынесем за скобки общий множитель 
:
Попытаемся теперь разложить на множители многочлен
Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвертым, будем иметь:
Окончательно получим:
Пример 3. Разложим на множители многочлен 
.
Сгруппировав первый, второй и четвертый члены многочлена, получим трехчлен, который можно представить в виде квадрата разности:
Полученное выражение можно разложить на множители по формуле разности квадратов:
Следовательно,
