Алгебра 7-9 классы. 7. Формулы сокращенного умножения

 


 

УМНОЖЕНИЕ РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИИ НА ИХ СУММУ

 


Умножим разность на сумму :

Значит,

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Тождество выше является одной из формул сокращенного умножения. Эта формула позволяет сокращенно выполнять умножение разности выражений на их сумму. Например:

 

 

 РАЗЛОЖЕНИЕ РАЗНОСТИ КВАДРАТОВ НА МНОЖИТЕЛИ

 


Поменяем местами в тождестве правую и левую части. Получим:



Это тождество называют формулой разности квадратов.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Формула разности квадратов применяется для разложения на множители разности квадратов любых двух выражений.

Разложим» например, на множители двучлен . Представив этот двучлен в виде разности квадратов и применив формулу, получим:

 

 
ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИИ

 


Рассмотрим еще две формулы сокращенного умножения. Возведем в квадрат сумму . Для этого представим выражение в виде произведения и выполним умножение:

Значит,

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Тождество (1) называют формулой квадрата суммы. Эта формула позволяет упрощать возведение в квадрат суммы двух выражений. Например,

Рассмотрим теперь квадрат разности а. Так как разность можно представить в виде суммы то по формуле квадрата суммы имеем:

Значит,

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Тождество (2) называют формулой квадрата разности. Эта формула позволяет упрощать возведение в квадрат любой разности. Например,



Заметим, что тождество (2) можно получить и умножением на  по правилу умножения многочлена на многочлен.

 

 

  РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ КВАДРАТА СУММЫ И КВАДРАТА РАЗНОСТИ

 


Формулы квадрата суммы и квадрата разности дают возможность не только упрощать возведение в квадрат суммы и разности, но и раскладывать на множители выражения вида .

Действительно, поменяв местами в этих формулах левую и правую части, получим:

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Разложим на множители трехчлен .

Первое слагаемое представляет собой квадрат выражения , третье — квадрат числа 5. Так как второе слагаемое равно удвоенному произведению Зх и 5, то этот трехчлен можно представить в виде квадрата суммы Зх и 5:



Пример 2. Разложим на множители многочлен

 


ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕ К СУММЕ И РАЗНОСТИ КУБОВ



Умножим сумму на выражение

Мы получили тождество

Выражение напоминает трехчлен , который равен квадрату разности а и b. Однако в этом выражении вместо удвоенного произведения а и Ъ стоит просто их произведение. Выражение вида называют неполным квадратом разности.

Полученное тождество представляет собой формулу сокращенного умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности.

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 1. Представим в виде многочлена произведение

Так как первый множитель есть сумма выражений m и Зn, а второй — неполный квадрат их разности, то данное произведение равно сумме кубов этих выражений:

Преобразуем теперь в многочлен произведение разности и выражения , которое называют неполным квадратом суммы а и b:

Мы получили тождество

Это тождество представляет собой формулу сокращенного умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы.

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

 

Пример 2. Представим в виде многочлена выражение

Это выражение является произведением разности двух одночленов и неполного квадрата их суммы. Поэтому

 

 
 РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ СУММЫ И РАЗНОСТИ КУБОВ

 



Поменяем в тождестве местами левую и правую части. Получим:

Это тождество называют формулой суммы кубов.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Формула суммы кубов применяется для разложения на множители суммы кубов любых двух выражений.

Пример 1. Разложим на множители многочлен .

Данный многочлен можно представить в виде суммы кубов двух выражений:

Применив формулу суммы кубов, получим:

Итак,

Аналогично может быть получена формула разности кубов. Поменяв местами в формуле левую и правую части, будем иметь:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Пример 2. Разложим на множители многочлен .

Представим данный многочлен в виде разности кубов двух выражений и, применив формулу, получим:

 

 

 

 ПРИМЕНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

 

 


Для разложения многочлена на множители иногда приходится применять несколько способов.

Пример 1. Разложим на множители многочлен

Все члены многочлена имеют общий множитель . Вынесем этот множитель за скобки:

Трехчлен можно представить в виде квадрата суммы Зх и  1. Поэтому

Итак,

 

 

Пример 2. Разложим на множители многочлен

Сначала вынесем за скобки общий множитель :

Попытаемся теперь разложить на множители многочлен

Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвертым, будем иметь:

Окончательно получим:

 

Пример 3. Разложим на множители многочлен .

Сгруппировав первый, второй и четвертый члены многочлена, получим трехчлен, который можно представить в виде квадрата разности:

Полученное выражение можно разложить на множители по формуле разности квадратов:

Следовательно,

 

 

 

Материалы

-->

Яндекс.Метрика