Алгебра 7-9 классы. 9. Решение линейных уравнений с двумя неизвестными

Подробности

Категория: Алгебра 7-9 классы

УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ЕГО ГРАФИК

Пусть требуется найти два числа» разность которых равна 5. Если первое число обозначить буквой х, а второе буквой у, то соотношение между ними можно записать в виде равенства .

Равенство содержит две переменные. Такие равенства называют уравнениями с двумя переменными или уравнениями с двумя неизвестными.

При уравнение обращается в верное равенство 8 — 3 = 5. Говорят, что пара значений переменных является решением этого уравнения. Пара х = 3, у = 8 не обращает уравнение в верное равенство, значит, не является его решением.

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений,переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Пару , являющуюся решением уравнения , можно записать так: (8; 3). При такой записи необходимо знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой — на втором. В записи решений уравнений с переменными х и у на первое место ставят значения х, а на второе место — значения у. Например, решениями уравнения служат также пары: (12; 7), (5,2; 0,2), ( — 2; —7), (3,8; -1,2).'

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной. В уравнении слагаемые можно переносить из одной его части в другую, изменив знаки этих слагаемых; обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля. При этом получаются уравнения, равносильные исходному. Чтобы найти решения уравнения

можно подставить в него вместо х произвольное число, например 3. Получим уравнение с одной переменной у: . Решив его, найдем, что у = —0,5. Пара (3; —0,5) — решение уравнения .

Для отыскания решений уравнения (1) удобно выразить одну переменную через другую. Выразим, например, переменную у через х. Для этого перенесем слагаемое Зх в правую часть уравнения, изменив его знак:

Разделив обе части этого уравнения на 2, получим:

Уравнение (3) равносильно уравнению (2), а уравнение (2) — уравнению (1). Поэтому уравнение (3) равносильно уравнению(1).

По формуле можно найти сколько угодно решений уравнения . Например, если х = 2, то ;

если x = —0,4, то . Значит, уравнение (1) имеет бесконечно много решений.

Каждое решение вида, уравнения с двумя переменными можно изобразить в координатной плоскости точкой с координатами х и у. Все такие точки образуют график уравнения. На рисунке 55 показан график уравнения

Этот график — парабола. Действительно, уравнение равносильно уравнению , а формулой задается функция, графиком которой является парабола.

Графики уравнений весьма разнообразны. На рисунках 56 и 57 изображены графики уравнений

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

 Каждое из уравнений с двумя переменными , имеет вид , где а, b и с — некоторые числа. Такие уравнения называют линейными уравнениями с двумя переменными.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида , где х и у — переменные, а, b и с — числа.

Числа а и b называют коэффициентами при переменных, число с — свободным членом.

Выясним, что представляет собой график линейного уравнения.

Если в линейном уравнении коэффициент при у не равен нулю, то из этого уравнения можно выразить у через х. Возьмем, например, уравнение. Имеем:

Формулой задается линейная функция, графиком которой служит прямая. Та же самая прямая является и графиком уравнения , так как это уравнение равносильно уравнению

Если в линейном уравнении коэффициент при у равен нулю, а коэффициент при х отличен от нуля, то графиком такого уравнения также является прямая. Рассмотрим, например, уравнение . Его решениями служат все пары чисел (х ; у), в которых x = 6, а у — любое число. Изобразив эти пары точками, получим прямую, параллельную оси ординат (рис. 59).

Итак, графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

Уравнение , в котором а = О и b = 0, имеет вид . При с = 0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком — вся координатная плоскость. При уравнение не имеет решений, и его график не содержит ни одной точки.

Приведем примеры построения графиков линейных уравнений.

Пример 1. Построим график уравнения .

В линейном уравнении коэффициенты при переменных отличны от нуля. Поэтому его графиком является прямая. Прямая определяется двумя точками. Найдем координаты двух каких-либо точек прямой:



Отметим точки (0; —3) и (2; —1,5) и проведем через них прямую (рис. 60). Эта прямая — график уравнения

Пример 2. Построим график уравнения х= — 3. Это уравнение можно записать в виде . графиком служит прямая, параллельная оси у (рис. 61).