Алгебра 7-9 классы. 9. Решение линейных уравнений с двумя неизвестными
- Подробности
- Категория: Алгебра 7-9 классы
УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ЕГО ГРАФИК
Пусть требуется найти два числа» разность которых равна 5. Если первое число обозначить буквой х, а второе буквой у, то соотношение между ними можно записать в виде равенства .
Равенство содержит две переменные. Такие равенства называют уравнениями с двумя переменными или уравнениями с двумя неизвестными.
При уравнение
обращается в верное равенство 8 — 3 = 5. Говорят, что пара значений переменных
является решением этого уравнения. Пара х = 3, у = 8 не обращает уравнение
в верное равенство, значит, не является его решением.
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений,переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Пару , являющуюся решением уравнения
, можно записать так: (8; 3). При такой записи необходимо знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой — на втором. В записи решений уравнений с переменными х и у на первое место ставят значения х, а на второе место — значения у. Например, решениями уравнения
служат также пары: (12; 7), (5,2; 0,2), ( — 2; —7), (3,8; -1,2).'
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.
Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной. В уравнении слагаемые можно переносить из одной его части в другую, изменив знаки этих слагаемых; обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля. При этом получаются уравнения, равносильные исходному. Чтобы найти решения уравнения
можно подставить в него вместо х произвольное число, например 3. Получим уравнение с одной переменной у: . Решив его, найдем, что у = —0,5. Пара (3; —0,5) — решение уравнения
.
Для отыскания решений уравнения (1) удобно выразить одну переменную через другую. Выразим, например, переменную у через х. Для этого перенесем слагаемое Зх в правую часть уравнения, изменив его знак:
Разделив обе части этого уравнения на 2, получим:
Уравнение (3) равносильно уравнению (2), а уравнение (2) — уравнению (1). Поэтому уравнение (3) равносильно уравнению(1).
По формуле можно найти сколько угодно решений уравнения
. Например, если х = 2, то
;
если x = —0,4, то . Значит, уравнение (1) имеет бесконечно много решений.
Каждое решение вида, уравнения с двумя переменными можно изобразить в координатной плоскости точкой с координатами х и у. Все такие точки образуют график уравнения. На рисунке 55 показан график уравнения
Этот график — парабола. Действительно, уравнение равносильно уравнению
, а формулой
задается функция, графиком которой является парабола.
Графики уравнений весьма разнообразны. На рисунках 56 и 57 изображены графики уравнений
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Каждое из уравнений с двумя переменными ,
имеет вид
, где а, b и с — некоторые числа. Такие уравнения называют линейными уравнениями с двумя переменными.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида , где х и у — переменные, а, b и с — числа.
Числа а и b называют коэффициентами при переменных, число с — свободным членом.
Выясним, что представляет собой график линейного уравнения.
Если в линейном уравнении коэффициент при у не равен нулю, то из этого уравнения можно выразить у через х. Возьмем, например, уравнение. Имеем:
Формулой задается линейная функция, графиком которой служит прямая. Та же самая прямая является и графиком уравнения
, так как это уравнение равносильно уравнению
Если в линейном уравнении коэффициент при у равен нулю, а коэффициент при х отличен от нуля, то графиком такого уравнения также является прямая. Рассмотрим, например, уравнение . Его решениями служат все пары чисел (х ; у), в которых x = 6, а у — любое число. Изобразив эти пары точками, получим прямую, параллельную оси ординат (рис. 59).
Итак, графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.
Уравнение , в котором а = О и b = 0, имеет вид
. При с = 0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком — вся координатная плоскость. При
уравнение не имеет решений, и его график не содержит ни одной точки.
Приведем примеры построения графиков линейных уравнений.
Пример 1. Построим график уравнения .
В линейном уравнении коэффициенты при переменных отличны от нуля. Поэтому его графиком является прямая. Прямая определяется двумя точками. Найдем координаты двух каких-либо точек прямой:
Отметим точки (0; —3) и (2; —1,5) и проведем через них прямую (рис. 60). Эта прямая — график уравнения
Пример 2. Построим график уравнения х= — 3. Это уравнение можно записать в виде . графиком служит прямая, параллельная оси у (рис. 61).