Алгебра 7-9 классы. 10. Системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Исследование систем

 


 

 

 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

 


Задача. В двух корзинах 12 кг яблок, причем в первой корзине на 2 кг яблок больше, чем во второй. Сколько яблок в каждой корзине?

Пусть в первой корзине х кг яблок, а во второй у кг. По условию задачи в двух корзинах 12 кг яблок, т. е.

 

Так как в первой корзине яблок на 2 кг больше, чем во второй,

то   



Мы составили два уравнения с двумя переменными. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие пары значений переменных, которые обращают в верное равенство каждое из уравнений, т. е. являются решениями как первого, так и второго уравнений. В таких случаях говорят, что надо решить систему уравнений. Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки. (Доставленную систему уравнений можно записать так:

Пара значений переменных х = 7, у = 5 служит решением каждого из уравнений системы, так как оба равенства 7 + 5 = 12 и 7 — 5 = 2 являются верными. Такую пару называют решением системы. Других решений эта система не имеет.

Теперь мы можем ответить на вопрос задачи: в первой корзине 7 кг яблок, а во второй 5 кг.

Определение. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Пусть требуется решить систему уравнений

Для этого в одной координатной плоскости построим графики уравнений системы. Графиком первого уравнения служит парабола, а графиком второго — прямая (рис. 62).



Координаты любой точки параболы являются решением уравнения а координаты любой точки прямой — решением уравнения Координаты каждой из точек пересечения графиков удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, т. е. являются решением системы.

Графики уравнений пересекаются в двух точках А (—1; 1) и 5(3; 9). Следовательно, система имеет два решения: (— 1; 1) и (3; 9).

Примененный нами способ решения системы называется графическим.

Заметим, что графический способ обычно позволяет находить решения приближенно.

Решим графически систему линейных уравнений:

Графиком каждого из уравнений служит прямая. Построив эти прямые в одной координатной плоскости (рис. 63), найдем, что они пересекаются в точке С( — 2; 3). Значит, система имеет единственное решение (—2; 3).



В рассмотренном примере прямые, являющиеся графиками линейных уравнений, пересекаются, и система имеет единственное решение. Если графики двух линейных уравнений — параллельные прямые, то система не имеет решений. Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений.

Видеотека

Яндекс.Метрика