Алгебра 7-9 классы. 11. Способы решения систем линейных уравнений
- Подробности
- Категория: Алгебра 7-9 классы
СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ
Решим систему уравнений:
Выразим из первого уравнения у через х:
Подставив во второе уравнение вместо у выражение , получим систему:
Докажем, что системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.
Пусть некоторая пара значений х и у является решением системы (1). При этих значениях х и у уравнение обращается в верное равенство. Заменив в нем значение у равным ему значением выражения
, мы снова получим верное равенство. Значит, каждое решение системы (1) является решением системы (2).
Аналогично доказывается, что каждое решение системы (2) является решением системы (1).
Таким образом, системы (1) и (2) имеют одни и те же решения. Такие системы называются равносильными.
В системе (2) второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
Соответствующее значение у можно найти, подставив вместо х число 1 в первое уравнение системы (1). Удобнее, однако, воспользоваться формулой
Пара (1; 4) — решение системы (1).
Способ, с помощью которого мы решили систему (1), называют способом подстановки. При решении этим способом сначала из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной. Решают это уравнение. Затем находят соответствующее значение второй переменной.
На рисунке 66 построены графики уравнений и
. Они пересекаются в точке (1; 4). Через эту точку проходит и график уравнения
т. е. прямая х = 1. Мы видим, что системы (1) и (2) имеют одно и то же решение.
Покажем применение способа подстановки еще на одном примере. Решим систему:
Выразим из второго уравнения х через у:
Подставим в первое уравнение вместо х выражение
Решим полученное уравнение с одной переменной у:
Подставим в уравнение вместо у число 4,5:
Ответ: х=—3, у = 4,5.
СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим еще один способ решения систем уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Пример 1. Решим систему:
В уравнениях системы коэффициенты при у — противоположные числа. Сложив почленно левые и правые части уравнения, получим уравнение с одной переменной:
Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением . Получим систему:
Решим систему (2). Из уравнения находим, что
. Подставив это значение х в уравнение
, получим уравнение с переменной у:
Решим это уравнение:
Пара (11; —9) — решение системы (2). Она является также решением системы (1), так как системы (1) и (2) равносильны. В этом можно убедиться с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые были проведены в предыдущем пункте при решении систем способом подстановки.
На рисунке 67 изображены графики уравнений 2x + 3у = — 5 и х — Зу = 38.
График уравнения , т. е. прямая
, проходит через точку их пересечения. Из рисунка видно, что система (2) имеет то же решение, что и система (1).
Пример 2. Решим систему:
Почленное сложение уравнений системы не приводит к исключению одной из переменных. Однако если умножить все члены первого уравнения на — 2, а второе уравнение оставить без изменений, то коэффициенты при х в полученных уравнениях будут противоположными числами:
Теперь почленное сложение приведет к уравнению с одной переменной . Из этого уравнения находим, что
. Подставив во второе уравнение вместо у число —2, найдем значение х:
Ответ: х = 6, у= — 2.
Пример 3. Решим систему
Подберем множители к уравнениям так, чтобы коэффициенты при у стали противоположными числами. С этой целью умножим каждый член первого уравнения на 3, а второго на 7. Получим систему:
Сложив уравнения почленно, получим:
Отсюда
Подставив это значение х в уравнение , найдем, что у = 19.
Ответ: х=—14, у —19.