Алгебра 7-9 классы. 15. Степень с целым показателем. Примеры решения упражнений

Подробности

Категория: Алгебра 7-9 классы

Определение степени с целым отрицательным показателем

В справочной литературе можно найти сведения о том, что мас­са Солнца равна 1,985-10³³ г, а масса атома водорода равна 1,674-10^-24 г. Запись 10³³ означает произведение тридцати трех множителей, каждый из которых равен 10. А каков смысл записи 10^-24 ?

Выпишем последовательно степени числа 10 с показателями 0, 1, 2 и т. д. Получим строку

В этой строке каждое число меньше следующего за ним в 10 раз. Продолжая строку (1) по тому же закону влево, перед числом 10° следует написать число , перед числом - число  , перед числом - число и  т.д. Получим

В строке (2) справа от числа 10° показатель каждой степени на 1 меньше показателя следующей за ней степени. Распространяя этот закон на числа, стоящие слева от числа 10°, их записывают в виде степени числа 10 с отрицательным показателем. Вместо пишут 10^-1 , вместо   пишут 10^-2, вместо пишут 10^-3 и т.д. Получают

Итак, 10^-1 означает , 10^-2 означает и т.д. Такое соглашение принимается для степеней с любыми основаниями, отличными от нуля.

Определение. Если а ≠ 0 и n — целое отрицательное число, то   

Пользуясь этим определением, найдем, что

Выражению 0ⁿ при целом отрицательном n (так же как и при n = 0) не приписывают никакого значения; это выражение не имеет смысла.

Напомним, что при натуральном n это выражение имеет смысл и его значение равно нулю.

Вернемся к примеру, рассмотренному в начале пункта. Теперь мы знаем, что запись 1,674-10^-24 г, выражающая массу атома водо­рода, означает

 Свойства степени с целым показателем

Известные вам свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем (нужно только предполагать, что основание степени не равно нулю).

Для каждого а ≠ 0 и любых целых m и n

для каждых а ≠ О, b ≠ О и любого целого n

Эти свойства можно доказать, опираясь на определение степени с целым отрицательным показателем и свойства степени с натуральным показателем.

Докажем, например, справедливость свойства (1) (основного свойства степени) для случая, когда показатели степеней — целые отрицательные числа. Иначе говоря, докажем, что если k и р — натуральные числа и а Ф О, то

Имеем

Заменяя степени а^-k и а^-p рдробями и и дробь степенью , мы воспользовались определением степени с целым отрицательным показателем. Заменяя произведение а^ка^р степенью а^к+р, мы использовали основное свойство степени с натуральным показателем.

Из свойств степени вытекает, что действия над степенями с целыми показателями выполняются по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями.

Пример 1. Преобразуем произведение а¹⁷ • а²¹.

 При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают. Имеем

Пример 2. Преобразуем частное b² : b⁵.

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Имеем

Пример 3. Упростим выражение (2а³b^-5)^-2.

 Сначала применим свойство (4), а затем свойство (3). Имеем

Стандартный вид числа

В науке и технике встречаются как очень большие, так и очень малые положительные числа. Например, большим числом выражается объем Земли — 1 083 000 000 000 км³, а малым — диаметр молекулы воды, который равен 0,0000000003 м.

В обычном десятичном виде большие и малые числа неудобно читать и записывать, неудобно выполнять над ними какие-либо действия. В таком случае полезным оказывается представление числа в виде а • 10ⁿ, где n — целое число. Например:

Представим каждое из чисел 1 083 000 000 000 и 0,0000000003 в виде произведения числа, заключенного между единицей и десятью, и соответствующей степени числа 10:

Говорят, что мы записали числа 1083 000 000 000 и 0,0000000003 в стандартном виде. В таком виде можно представить любое положительное число.

Стандартным видом числа а называют его запись в виде — целое число. Число n называется порядком числа а.

Например, порядок числа, выражающего объем Земли в кубических километрах, равен 12, а порядок числа, выражающего диаметр молекулы воды в метрах, равен -10.

Порядок числа дает представление о том, насколько велико или мало это число. Так, если порядок числа а равен 3, то это означает, что 1000 ≤ а ≤ 10 000. Если порядок числа а равен -2, то 0,01 ≤ а < 0,1. Большой положительный порядок показывает, что число очень велико. Большой по модулю отрицательный порядок показывает, что число очень мало.

Пример 1. Представим в стандартном виде число а = 4350000.  В числе а поставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна цифра. В результате получим 4,35. Отделив запятой 6 цифр справа, мы уменьшили число а в 106 раз. Поэтому а больше числа 4,35 в 106 раз. Отсюда

Пример 2. Представим в стандартном виде число а = 0,000508.

 В числе а переставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна отличная от нуля цифра. В результате получится 5,08. Переставив запятую на четыре знака вправо, мы увеличили число а в 104 раз. Поэтому число а меньше числа 5,08 в 104 раз. Отсюда