Алгебра 7-9 классы. 15. Степень с целым показателем. Примеры решения упражнений
- Подробности
- Категория: Алгебра 7-9 классы
Определение степени с целым отрицательным показателем
В справочной литературе можно найти сведения о том, что масса Солнца равна 1,985-1033 г, а масса атома водорода равна 1,674-10-24 г. Запись 1033 означает произведение тридцати трех множителей, каждый из которых равен 10. А каков смысл записи 10-24 ?
Выпишем последовательно степени числа 10 с показателями 0, 1, 2 и т. д. Получим строку
В этой строке каждое число меньше следующего за ним в 10 раз. Продолжая строку (1) по тому же закону влево, перед числом 10° следует написать число , перед числом - число , перед числом - число и т.д. Получим
В строке (2) справа от числа 10° показатель каждой степени на 1 меньше показателя следующей за ней степени. Распространяя этот закон на числа, стоящие слева от числа 10°, их записывают в виде степени числа 10 с отрицательным показателем. Вместо пишут 10-1 , вместо пишут 10-2, вместо пишут 10-3 и т.д. Получают
Итак, 10-1 означает , 10-2 означает и т.д. Такое соглашение принимается для степеней с любыми основаниями, отличными от нуля.
Определение. Если а ≠ 0 и n — целое отрицательное число, то
Пользуясь этим определением, найдем, что
Выражению 0n при целом отрицательном n (так же как и при n = 0) не приписывают никакого значения; это выражение не имеет смысла.
Напомним, что при натуральном n это выражение имеет смысл и его значение равно нулю.
Вернемся к примеру, рассмотренному в начале пункта. Теперь мы знаем, что запись 1,674-10-24 г, выражающая массу атома водорода, означает
Свойства степени с целым показателем
Известные вам свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем (нужно только предполагать, что основание степени не равно нулю).
Для каждого а ≠ 0 и любых целых m и n
для каждых а ≠ О, b ≠ О и любого целого n
Эти свойства можно доказать, опираясь на определение степени с целым отрицательным показателем и свойства степени с натуральным показателем.
Докажем, например, справедливость свойства (1) (основного свойства степени) для случая, когда показатели степеней — целые отрицательные числа. Иначе говоря, докажем, что если k и р — натуральные числа и а Ф О, то
Имеем
Заменяя степени а-k и а-p рдробями и и дробь степенью , мы воспользовались определением степени с целым отрицательным показателем. Заменяя произведение акар степенью ак+р, мы использовали основное свойство степени с натуральным показателем.
Из свойств степени вытекает, что действия над степенями с целыми показателями выполняются по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями.
Пример 1. Преобразуем произведение а17 • а21.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают. Имеем
Пример 2. Преобразуем частное b2 : b5.
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Имеем
Пример 3. Упростим выражение (2а3b-5)-2.
Сначала применим свойство (4), а затем свойство (3). Имеем
Стандартный вид числа
В науке и технике встречаются как очень большие, так и очень малые положительные числа. Например, большим числом выражается объем Земли — 1 083 000 000 000 км3, а малым — диаметр молекулы воды, который равен 0,0000000003 м.
В обычном десятичном виде большие и малые числа неудобно читать и записывать, неудобно выполнять над ними какие-либо действия. В таком случае полезным оказывается представление числа в виде а • 10n, где n — целое число. Например:
Представим каждое из чисел 1 083 000 000 000 и 0,0000000003 в виде произведения числа, заключенного между единицей и десятью, и соответствующей степени числа 10:
Говорят, что мы записали числа 1083 000 000 000 и 0,0000000003 в стандартном виде. В таком виде можно представить любое положительное число.
Стандартным видом числа а называют его запись в виде — целое число. Число n называется порядком числа а.
Например, порядок числа, выражающего объем Земли в кубических километрах, равен 12, а порядок числа, выражающего диаметр молекулы воды в метрах, равен -10.
Порядок числа дает представление о том, насколько велико или мало это число. Так, если порядок числа а равен 3, то это означает, что 1000 ≤ а ≤ 10 000. Если порядок числа а равен -2, то 0,01 ≤ а < 0,1. Большой положительный порядок показывает, что число очень велико. Большой по модулю отрицательный порядок показывает, что число очень мало.
Пример 1. Представим в стандартном виде число а = 4350000. В числе а поставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна цифра. В результате получим 4,35. Отделив запятой 6 цифр справа, мы уменьшили число а в 106 раз. Поэтому а больше числа 4,35 в 106 раз. Отсюда
Пример 2. Представим в стандартном виде число а = 0,000508.
В числе а переставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна отличная от нуля цифра. В результате получится 5,08. Переставив запятую на четыре знака вправо, мы увеличили число а в 104 раз. Поэтому число а меньше числа 5,08 в 104 раз. Отсюда