Алгебра 7-9 классы. 16. Квадратные корни. Свойства квадратных корней

Подробности

Категория: Алгебра 7-9 классы

ПОНЯТИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

Рассмотрим уравнение Решим его графически. Для этого в одной системе координат построим параболу и прямую (рис. 74). Они пересекаются в двух точках А (- 2; 4) и В (2; 4). Абсциссы точек А и В являются корнями уравнения . Итак,

Рассуждая точно так же, находим корни уравнения (см. рис. 74):

А теперь попробуем решить уравнение геометрическая иллюстрация представлена на рис. 75. Ясно, что это уравнение имеет два корня х₁ и х₂, причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, равны по абсолютной величине и противоположны по знаку (х_{1 =} — х₂). Но в отличие от предыдущих случаев, где корни уравнения были найдены без труда (причем их можно было найти и не пользуясь графиками), с уравнением х² = 5 дело обстоит не так: по чертежу мы не можем указать значения корней, можем только установить, что один корень располагается чуть левее точки -2, а второй — чуть правее точки 2.

Что же это за число (точка), которое располагается чуть правее точки 2 и которое в квадрате дает 5? Ясно, что это не 3, так как З² = 9, т. е. получается больше, чем нужно (9 > 5). Значит, интересующее нас число расположено между числами 2 и 3. Но между числами 2 и 3 находится бесконечное множество рациональных  чисел, например и т.д. Может быть, среди них найдется такая дробь , что ? Тогда никаких проблем с уравнением у нас не будет, мы сможем написать, что

Но тут  нас ждет неприятный сюрприз. Оказывается, нет такой дроби , для которой выполняется равенство

Доказательство сформулированного утверждения довольно сложно. Тем не менее мы его приводим, поскольку оно красиво и поучительно, очень полезно попытаться его понять.

Предположим, что имеется такая несократимая дробь , для которой выполняется равенство Тогда , т.е. . Последнее равенство означает, что натуральное  число m² делится без остатка на 5 (в частном получится n²). Следовательно, число m² оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0. Но тогда и натуральное число m оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0, т. е. число m делится на 5 без остатка. Иными словами, если число m разделить на 5, то в частном получится какое-то натуральное число k. Это значит, что

А теперь смотрите:

Подставим 5k вместо m в первое равенство:

Последнее равенство означает, что число,n² делится на 5 без остатка. Рассуждая, как и выше, приходим к выводу о том, что и число n делится на 5 без остатка.

Итак, m делится на 5, n делится на 5, значит, дробь можно сократить (на 5). Но ведь мы предполагали, что дробь — несократимая. В чем же дело? Почему, правильно рассуждая, мы пришли к абсурду или, как чаще говорят математики, получили противоречие? Да потому, что неверной была исходная посылка, будто бы существует такая несократимая дробь , для которой выполняется равенство

Отсюда делаем вывод: такой дроби нет.

Метод доказательства, который мы применили только что, называют в математике методом доказательства от противного. Суть его в следующем. Нам нужно доказать некоторое утверждение, а мы предполагаем, что оно не выполняется (математики говорят: «предположим противное» — не в смысле «неприятное», а в смысле «противоположное тому, что требуется»). Если в результате правильных рассуждений приходим к противоречию с условием, то делаем вывод: наше предположение неверно, значит, верно то, что требовалось доказать.

Итак, располагая только рациональными числами (а других чисел мы с вами пока не знаем), уравнение х² = 5 мы решить не сможем.
Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Они ввели в рассмотрение новый символ который назвали квадратным корнем, и с помощью этого символа корни уравнения х² = 5 записали так: (читается: «корень квадратный из пяти»). Теперь для любого уравнения вида х² = а, где а > О, можно найти корни — ими являются числа    и (рис. 76).

Еще раз подчеркнем, что число не целое и не дробь.

Значит, — не рациональное число, это число новой природы.

Пока лишь отметим, что новое число находится между числами 2 и 3, поскольку 2²  =  4, а это меньше, чем 5; З² = 9, а это больше, чем 5. Можно уточнить:

В самом деле Можно еще уточнить

действительно,

На практике обычно полагают, что число равно 2,23 или оно равно 2,24, только это не обычное равенство, а приближенное равенство, для обозначения которого используют символ ≈.

Итак,

Обсуждая решение уравнения х² = а, мы столкнулись с довольно типичным для математики положением дел. Попадая в нестандартную, нештатную (как любят выражаться космонавты) ситуацию и не найдя выхода из нее с помощью известных средств, математики придумывают для впервые встретившейся им математической модели новый термин и новое обозначение (новый символ); иными словами, они вводят новое понятие, а затем изучают свойства этого понятия. Тем самым новое понятие и его обозначение становятся достоянием математического языка. Мы действовали так же: ввели термин «корень квадратный из числа а», ввели символ для его обозначения, а чуть позднее изучим свойства нового понятия. Пока мы знаем лишь одно: если а > О, то  — положительное число, удовлетворяющее уравнению х² = а. Иными словами,   это такое положительное число, при возведении которого в квадрат получается число а.

Поскольку уравнение х² = 0 имеет корень х = 0, условились считать, что
Теперь мы готовы дать строгое определение.

Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен а. Это

число обозначают , число а при этом называют подкоренным числом.

Итак, если а — неотрицательное число, то:

Если а < 0, то уравнение х² = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.

Таким образом, выражение имеет смысл лишь при а > 0.

Говорят, что — одна и та же математическая модель (одна и та же зависимость между неотрицательными числами а и b), но только вторая описана на более простом языке, чем первая (использует более простые символы).

Операцию нахождения квадратного корня из неотрицательного числа называют извлечением квадратного корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в квадрат. Сравните:

Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только положительные числа, поскольку это оговорено в определении квадратного корня. И хотя, например, (- 5)² = 25 — верное равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня (т.е. написать, что ) нельзя. По определению, — положительное число, значит,

Часто говорят не «квадратный корень», а «арифметический квадратный корень». Термин «арифметический» мы опускаем для краткости.

Пример 1. Вычислить:

Решение.

г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать точное значение числа . Ясно лишь, что оно больше, чем 4, но меньше, чем 5, поскольку 4² = 16 (это меньше, чем 17), а 5² = 25 (это больше, чем 17).

Впрочем, приближенное значение числа можно найти с помощью микрокалькулятора, который содержит операцию извлечения квадратного корня; это значение равно 4,123.

Итак,   ≈ 4,123.

д) Вычислить нельзя, поскольку квадратный корень из отрицательного числа не существует; запись лишена смысла. Предложенное задание некорректно.

е)    , так как 31 > 0 и 312 = 961. В подобных случаях приходится использовать таблицу квадратов натуральных чисел или микрокалькулятор.

ж)    поскольку 75 > 0 и 752 = 5625.

В простейших случаях значение квадратного корня вычисляется сразу: и т. д. В более сложных случаях приходится использовать таблицу квадратов чисел или проводить вычисления с помощью микрокалькулятора. А как быть, если под рукой нет ни таблицы, ни калькулятора? Ответим на этот вопрос, решив следующий пример.

Пример 2. Вычислить .

Решение.

Первый этап. Нетрудно догадаться, что в ответе получится 50 с «хвостиком». В самом деле, 50² = 2500, а 60² = 3600, число же 2809 находится между числами 2500 и 3600.

Второй этап. Найдем «хвостик», т. е. последнюю цифру искомого числа. Пока мы знаем, что если корень извлекается, то в ответе может получиться 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 или 59. Проверить надо только два числа: 53 и 57, поскольку только они при возведении в квадрат дадут в результате четырехзначное число, оканчивающееся цифрой 9, т. е. той же цифрой, которой оканчивается число 2809.

Имеем 53² = 2809 — это то, что нам нужно (нам повезло, мы сразу попали в «яблочко»). Значит, .
Ответ: .

Подобно тому, как выше мы определили понятие квадратного корня, можно определить и понятие кубического корня:

кубическим корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, куб которого равен а. Иными словами, равенство означает, что b³ = а.

Например , так как , так как , так как

  СВОЙСТВА КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ

До сих пор мы осуществляли над числами пять арифметических операций: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, причем при вычислениях активно использовали различные свойства этих операций, например

и т.д.

Теорема 1

Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел:

Доказательство. Введем следующие обозначения:

Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х = yz.

Так как то . Аналогично, так как и , то соответственно .

Итак, . Тогда т. е. . Если квадраты двух неотрицательных чисел равны, то и сами числа равны, значит, из равенства следует, что х = yz,  а это и требовалось доказать.

Приведем краткую запись доказательства теоремы:

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Теорема остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных множителей.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Теорему 1 можно оформить, используя конструкцию «если... , то» (как это принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а и b — неотрицательные числа, то справедливо равенство . Следующую теорему мы именно так и оформим.

Теорема 2.

Если то справедливо равенство

(Краткая формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней или корень из частного равен частному от корней.)

Доказательство. На этот раз мы приведем только краткую запись доказательства, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что составили суть доказательства теоремы 1.