Алгебра 7-9 классы. 17. Решение типовых заданий по теме: "Квадратные корни"


 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ОПЕРАЦИЮ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ

 

 

До сих пор мы с вами выполняли преобразования только рациональных выражений, используя для этого правила действий над многочленами и алгебраическими дробями, формулы сокращенного умножения и т. д. В этой статье мы ввели новую операцию — операцию извлечения квадратного корня; мы установили, что

где, напомним, а, b — неотрицательные числа.

Используя эти формулы, можно выполнять различные преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Рассмотрим несколько примеров, причем во всех примерах будем предполагать, что переменные принимают только неотрицательные значения.

Пример 1. Упростите выражения:

Решение.

 

Пример 2. Вынести множитель из-под знака квадратного корня:

Решение.

      

 

Пример 3. Внести множитель под знак квадратного корня:

Решение.

 

Пример 4. Выполнить действия:

Решение.

а)

Но значит

На самом деле новые переменные х и у можно было и не вводить, тогда запись решения будет короче:

 б) Имеем

 

Пример 5. Разложить на множители:

Решение.

а) Имеем

Заметим, что это — квадрат разности выражений и . Значит,

б) Имеем

Остается лишь вспомнить формулу разложения множители «суммы кубов»:

Здесь в роли а выступает , а в роли b — число 1. Получаем

 

 

Пример 6. Упростить выражение

Решение. Выполним последовательные преобразования:

(мы привели подобные члены );

(сократили дробь на , т.е. на общий множитель числителя и знаменателя дроби);

 

 

Пример 7. Преобразовать заданное алгебраическое выражение к такому виду, чтобы знаменатель дроби не содержал знаков квадратных корней:

Решение. В обоих случаях воспользуемся тем, что значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить на одно и то же отличное от нуля число или выражение.


а) Умножив числитель и знаменатель дроби на , получим



б) Умножив числитель и знаменатель дроби на , получим

Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то обычно говорят, что в знаменателе содержится иррациональность . Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют обычно освобождением от иррациональности в знаменателе. Два основных приема освобождения от иррациональности в знаменателе мы как раз и рассмотрели в примере 7:

если знаменатель имеет вид , то числитель и знаменатель дроби следует умножить на ;

если знаменатель имеет вид или , то числитель и знаменатель дроби надо умножить соответственно на или на .

Зачем нужно уметь освобождаться от иррациональности в знаменателе? Во многих случаях это облегчает тождественные преобразования алгебраических выражений, в чем мы сейчас и убедимся.



Пример 8. Упростить выражение

Решение. Выполним последовательные преобразования:

 

Ответ:

Материалы

-->

Яндекс.Метрика