Алгебра 7-9 классы. Урок 18. Действительные числа. Бесконечные десятичные периодические дроби

Подробности

Категория: Алгебра 7-9 классы

 МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Ранее мы убедились в том, что, кроме рациональных чисел, существуют числа другой природы — к ним часто приводит операция извлечения квадратного корня (и не только она, просто мы с вами этого пока не знаем). Значит, нам нужно более обстоятельно познакомиться с новыми числами. Но сначала попробуем систематизировать наши знания о «старых», т. е. о рациональных, числах.

1. Некоторые символы математического языка

Вам хорошо известны натуральные числа:

1,2, 3, 4,...

Множество всех натуральных чисел обычно обозначают буквой N.

Если к натуральным числам присоединить число 0 и все целые отрицательные числа: - 1, - 2, - 3, - 4, ..., — то получится множество целых чисел. Это множество обычно обозначают буквой Z.

Если к множеству целых чисел присоединить все обыкновенные дроби:, — то получится множество рациональных чисел. Это множество обычно обозначают буквой Q.

Любое целое число m можно записать в виде дроби , поэтому справедливо утверждение о том, что множество Q рациональних чисел — это множество, состоящее из чисел вида ,  (где m, n — натуральные числа) и числа 0.

Используя введенные обозначения N, Z, Q, условимся о следующем:

1.    Вместо фразы «n — натуральное число» можно писать n ∈ N (читается: «элемент n принадлежит множеству N»). Математический символ ∈ называют знаком принадлежности.

2.    Вместо фразы «m — целое число» можно писать m ∈ Z,

3.    Вместо фразы «r — рациональное число» можно писать r ∈ Q.

Понятно, что N — часть множества Z, а Z — часть множества Q. Для описания этой ситуации в математике также имеется специальное обозначение:

Математический символ ⊂ называют знаком включения (одного множества в другое).

Вообще, в математике запись х ∈ X означает, что х — один из элементов множества X. Запись А ⊂ В означает, что множество А представляет собой часть множества В. Математики чаще говорят так: А — подмножество множества В.

Обратите внимание: множества в математике обычно обозначают прописными буквами, а элементы множества — строчными буквами.

И еще на один момент обратите внимание: знаки принадлежности (элемент принадлежит множеству) и включения (одно множество содержится в другом) — различные, соответственно ∈ и ⊂.

А как записать, что элемент х не принадлежит множеству X или что множество А не является частью (подмножеством) множества B. Используют те же символы, но перечеркнутые косой чертой: .

Приведем несколько примеров использования введенных математических символов для сокращения записи верных математических утверждений — их называют также истинными высказываниями.

2. Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби

К рациональным числам, как мы уже не раз подчеркивали, относятся все те числа, с которыми вы успешно оперировали до тех пор, пока не встретились с квадратными корнями. Это были целые числа, обыкновенные дроби, десятичные дроби. Для всех этих чисел можно использовать один и тот же способ записи, который мы сейчас и обсудим.

Рассмотрим, например, целое число 5, обыкновенную дробь  и десятичную дробь 8,377. Целое число 5 можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: 5,0000... Десятичную дробь 8,377 также можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: 8,377000... Для числа воспользуемся методом
«деления углом»:

Как видите, начиная со второй цифры после запятой происходит повторение одной и той же группы цифр: 18, 18, 18, ... . Таким образом, = 0,3181818... . Короче это записывают так: 0,3(18). Повторяющуюся группу цифр после запятой называют периодом, а саму десятичную дробь — бесконечной десятичной периодической дробью.

Между прочим, и число 5 можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Для этого надо в периоде записать число 0:

5 - 5,00000... = 5,(0).

Так же обстоит дело и с числом 8,377:

8,377 = 8,377000... - 8,377(0).

Чтобы все было аккуратно, говорят так: 8,377 — конечная десятичная дробь, а 8,377000... — бесконечная десятичная дробь.

Таким образом, и число 5, и число , и число 8,377 удалось записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Вообще, любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Замечание. Этот вывод удобен для теории, но не очень удобен для практики. Ведь если дана конечная десятичная дробь 8,377, то зачем нужна ее запись в виде 8,377(0)? Поэтому обычно говорят так:

любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Выше мы показали, как обыкновенную дробь представляют в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Верно и обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Это значит, что любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число.

Покажем на примере, как бесконечную десятичную периодическую дробь превращают в обыкновенную дробь.

Пример. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь: а) 1,(23); б) 1,5(23).

Решение,

а) Положим х = 1,(23), т. е. х = 1,232323... . Умножим х на такое число, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на один период. Поскольку в периоде содержатся две цифры, нужно, чтобы запятая передвинулась вправо на две цифры, а для этого число х надо умножить на 100. Получим

Значит,

т.е.

откуда находим

Итак,

б) Положим х = 1,5(23) = 1,5232323... . Сначала умножим х на 10, чтобы в полученном произведении период начинался сразу после запятой: 10х = 15,232323... . Теперь число 10х умножим на 100 — тогда запятая сместится ровно на один период вправо: 1000х = 1523,232323... . Имеем

Итак,

Ответ:

Теперь мы сформулируем основной результат : множество Q рациональных чисел можно рассматривать как множество чисел вида , где m — целое число, n — натуральное число, или как множество бесконечных десятичных периодических дробей.

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Мы уже неоднократно отмечали, что не все числа, с которыми приходится встречаться в реальной жизни, являются рациональными. Так, не является рациональным числом длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 см и 2 см: в самом деле, длина  гипотенузы этого треугольника и длины катетов связаны, по теореме Пифагора, соотношением с² = 1² + 2². Значит, , не рациональное число. Корни уравнения х² = 7 также не являются рациональными числами — это числа и . Что же это за числа,

которые не являются рациональными?

Прежде всего заметим, что в математике не принято говорить «нерациональное число», обычно используют термин иррациональное число. Термины «рациональное число», «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio — «разум» (буквальный перевод: «рациональное число — разумное число», «иррациональное число — неразумное число»; впрочем, так говорят и в реальной жизни: «он поступил рационально» — это значит, что он поступил разумно; «так действовать нерационально» — это значит, что так действовать неразумно).

Рассмотрим уже известное нам иррациональное число .

В ранее мы отмечали, что оно заключено между числами 2 и 3; если точнее, то между числами 2,2 и 2,3; если еще точнее, — то между числами 2,23 и 2,24. Можно продолжить уточнения оценок числа и определить границы для третьего десятичного знака после запятой. Имеем 2,236² = 4,999696, что меньше 5; 2,237² = = 5,004167, что больше 5. Итак, 2,236 < < 2,237.

Точно так же можно определить границы для четвертого знака после запятой, для пятого знака и т. д. Ясно, что выполняется приближенное равенство ≈ 2,236. Если же считать, что для числа выписаны все последующие десятичные знаки, то можно воспользоваться записью Это — бесконечная десятичная дробь. В предыдущем параграфе мы уже встречались с бесконечными десятичными дробями, но все они были периодическими и выражали рациональные числа. Иррациональное число выражается бесконечной десятичной непериодической дробью.

Вообще, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Такие числа встречаются не только при извлечении квадратного корня, но и во многих других случаях, в чем вы не раз убедитесь в старших классах.

Пока приведем только один пример. Если длину любой окружности разделить на ее диаметр, то в частном получится иррациональное число 3,141592... . Этот факт установил еще в III веке до н. э. греческий математик и философ Архимед. Для указанного числа в математике введено специальное обозначение π (буква греческого алфавита «пи»).

Любая арифметическая операция над рациональными числами приводит в результате к рациональному числу. Это и понятно, ведь сумма (разность, произведение, частное) обыкновенных дробей есть обыкновенная дробь (все логично, ведь рациональные числа — «разумные» числа). А как обстоит дело с иррациональными числами? Оказывается, ничего определенного сказать нельзя (что тоже логично, ведь иррациональные числа — «неразумные» числа). Смотрите: — иррациональное число, a — рациональное число, т. е. произведение двух иррациональных чисел оказалось рациональным числом;  и      иррациональные числа, и их произведение, т. е.

    тоже иррациональное число. То же относится к сложению, вычитанию, делению иррациональных чисел: в ответе может получиться как рациональное, так и иррациональное число.

А что получится, если в операции участвуют одно рациональное число и одно иррациональное число, какое «пересилит»? Оказывается, «пересилит» иррациональное число. Рассмотрим такой пример: дано рациональное число 3 и иррациональное число ; составим их сумму . Предположим, что это — рациональное число r, т. е. . Тогда , а r - 3 — рациональное число (как разность двух рациональных чисел). Получается, что yj2 — рациональное число, а это

неверно, ведь мы знаем, что это число — иррациональное. Получили противоречие, значит, сделанное нами предположение неверно, т. е. — иррациональное число. Аналогично можно доказать, что — иррациональное число.

Итак, можно сделать следующие выводы:

•    Любая арифметическая операция над рациональными числами (кроме деления на 0) приводит в результате к рациональному числу.

•    Арифметическая операция над иррациональными числами может привести в результате как к рациональному, так и к иррациональному числу.

•    Если в арифметической операции участвуют рациональное и иррациональное числа, то в результате получится иррациональное число (кроме умножения и деления на 0).

Поскольку операция извлечения квадратного корня из положительного числа часто приводит к иррациональным числам, условились алгебраическое выражение, в котором присутствует операция извлечения квадратного корня, называть иррациональным выражением. Кстати, и термин «освобождение от иррациональности в знаменателе», который мы использовали ранее, объясняется теми же причинами.

МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Если множество рациональных чисел дополнить множеством иррациональных чисел, то вместе они составят множество действительных чисел. Множество действительных чисел обычно обозначают буквой R; используют также символическую запись (-∞, +∞) или (-∞, ∞).

Множество действительных чисел можно описать так: это множество конечных и бесконечных десятичных дробей, конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные периодические дроби — рациональные числа, а бесконечные десятичные непериодические дроби — иррациональные числа.

Каждое действительное число можно изобразить точкой на координатной прямой. Верно и обратное: каждая точка координатной прямой имеет действительную координату. Математики обычно говорят так: между множеством R действительных чисел и множеством точек координатной прямой установлено взаимно однозначное соответствие. Координатная прямая есть геометрическая модель множества действительных чисел; по этой причине для координатной прямой часто используют термин числовая прямая.

Вдумайтесь в этот термин: не кажется ли он вам противоестественным? Ведь число — объект алгебры, а прямая объект геометрии. Нет ли тут «смешения жанров»? Нет, все логично, все продумано. Этот термин в очередной раз подчеркивает единство различных областей математики, дает возможность отождествления понятий «действительное число» и «точка на координатной (числовой) прямой».

Обратите внимание: координатной прямой вы пользовались начиная с 5-го класса. Но, оказывается, в ваших знаниях был вполне оправданный пробел: не для любой точки координатной прямой вы сумели бы найти координату — просто учитель оберегал вас от такой неприятности.

Рассмотрим пример. Дана координатная прямая, на ее единичном отрезке построен квадрат (рис. 100), диагональ квадрата ОВ отложена на координатной прямой от точки О вправо, получилась точка D. Чему равна координата точки D? Она равна длине диагонали

квадрата, т. е. . Это число, как мы теперь знаем, не целое и не дробь. Значит, ни в 5-м, ни в 6-м, ни в 7-м классе координату точки D вы бы найти не смогли. Потому мы до сих пор и говорили «координатная прямая», а не «числовая прямая».

Заметим, что был еще один оправданный пробел в ваших знаниях по алгебре. Рассматривая выражения с переменными, мы всегда подразумевали, что переменные могут принимать любые допустимые значения, но только рациональные, ведь других-то не было. На самом деле переменные могут принимать любые допустимые действительные значения. Например, в тождестве

в роли а и b могут выступать любые числа, не обязательно рациональные. Для действительных чисел а, b, с выполняются привычные законы:

Выполняются и привычные правила:

произведение (частное) двух положительных чисел положительное число;

произведение (частное) двух отрицательных чисел положительное число;

произведение (частное) положительного и отрицательного числа — отрицательное число.

Действительные числа можно сравнивать друг с другом, используя следующее определение.

Определение. Говорят, что действительное число а больше (меньше) действительного числа Ъ, если их разность а — Ъ положительное (отрицательное) число. Пишут а > b (а < b).

Из этого определения следует, что всякое положительное число а больше нуля (поскольку разность а - 0 = а — положительное число), а всякое отрицательное число b меньше нуля (поскольку разность b - 0 = b — отрицательное число).

Геометрическая модель множества действительных чисел, т. е. числовая прямая, делает операцию сравнения чисел особенно наглядной: из двух чисел а, b больше то, которое располагается на числовой прямой правее.

Таким образом, к сравнению действительных чисел нужно подходить достаточно гибко, что мы и используем в следующем примере.

Пример 1. Сравнить числа:

б) Имеем ; таким образом

в)  -3,7 — отрицательное число, — положительное чиcло. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, поэтому

r) . Точка -2,64... располагается на координатной прямой левее точки -2,23... , следовательно,