Алгебра 7-9 классы. 25. Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств. Оценки

Подробности

Категория: Алгебра 7-9 классы

СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ

Понятие числового неравенства: а > b — это значит, что а - b — положительное число; а < b — это значит, что а - b — отрицательное число. Числовые неравенства обладают рядом свойств, знание которых поможет нам в дальнейшем работать с неравенствами.

Для чего нужно уметь решать уравнения, вы знаете: до сих пор математическая модель практически любой реальной ситуации, которую мы рассматривали, представляла собой либо уравнение, либо систему уравнений. На самом деле встречаются и другие математические модели — неравенства, просто мы пока таких ситуаций избегали.

Знание свойств числовых неравенств будет полезно и для исследования функций. Например, с неравенствами связаны такие известные вам свойства функций, как наибольшее и наименьшее значения функции на некотором промежутке, ограниченность функции снизу или сверху. С неравенствами связано и свойство возрастания или убывания функции, о котором пойдет речь в одном из следующих параграфов. Так что, как видите, без знания свойств числовых неравенств нам не обойтись. Да вы и сами уже могли убедиться в необходимости умения работать с неравенствами.

Свойство 1.

Если а>b  и b > с, то а > с.

Доказательство. По условию, а > b, т. е. а - b — положительное число. Аналогично, так как b > с, делаем вывод, что b - с — положительное число.

Сложив положительные числа а - b и b - с, получим положительное число. Имеем (а — b) + (b - с) = а — с. Значит, а — с — положительное число, т. е. а > с, что и требовалось доказать.

Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель множества действительных чисел, т, е. числовую прямую. Неравенство а > b означает, что на числовой прямой точка а расположена правее точки b, а неравенство b > с — что точка b расположена правее точки с (рис. 115). Но тогда точка а расположена на прямой правее точки с, т. е. а > с.

 Свойство 1 обычно называют свойством транзитивности (образно говоря, от пункта а мы добираемся до пункта с как бы транзитом, с промежуточной остановкой в пункте b).

Свойство 2.

Если а > b, то а + с > b + с.

Свойство 3.

Если а>b и m > 0, то am > bm;
если a > b u m < 0,то am < bm.

Смысл свойства 3 заключается в следующем: если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить; если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить (< на >,> на < ).

То же относится к делению обеих частей неравенства на одно и то же положительное или отрицательное число m, поскольку деление на m всегда можно заменить умножением на . Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части неравенства а > b на - 1, получим

- а <-b. Это значит, что если изменить знаки у обеих частей неравенства, то надо изменить и знак неравенства: если а > Ь, то — а < — b.

Свойство 4.

Если а > b и с > d, то а + с > b + d.

Доказательство.

I    способ. По условию, а > b и с > d, значит, а - b и с - d — положительные числа. Тогда и их сумма, т. е. (а - b) + (с - d) — положительное число.

Так как

(а - b) + (с - d) = (а + с) - (b + d),

то и (а + с) - (b + d) — положительное число. Поэтому

а + с > b + d.

II    способ. Так как а> b, то, согласно свойству 2, а + с > b + с. Аналогично, так как с > d, то с + b > d + b.

Итак, a + c > b + c, b + c > b + d. Тогда, в силу свойства транзитивности, получаем, что а + с > b + d.

Свойство 5.

Если а, b, с, d — положительные числа и a > b, с > d, то ас > bd.

Доказательство. Так как а > b и с > 0, то ас > bс. Аналогично, так как с > d и b > 0, то cb > db.

Итак, ас > bc, bc > bd. Тогда, согласно свойству транзитивности, получаем, что ас > bd.

Обычно неравенства вида а > b, с > d (или а < с, с < d) называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства а > b и с < d — неравенствами противоположного смысла. Свойство 5 означает, что при умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части — положительные числа, получится неравенство того же смысла.

Свойство 6.

Если а и b — неотрицательные числа и а> b, то аⁿ> bⁿ, где n — любое натуральное число.

Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части неравенства — неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.

Дополнение к свойству 6. Если n — нечетное число, то для любых чисел а и b из неравенства а > b следует неравенство того же смысла аⁿ > bⁿ.

Вы обратили внимание на то, что в приведенных доказательствах мы пользовались по сути дела всего двумя идеями? Первая идея — составить разность левой и правой частей неравенства и выяснить, какое число получится: положительное или отрицательное. Вторая идея — для доказательства нового свойства использовать уже известные свойства. Так поступают и в других случаях доказательств числовых неравенств.

Пример 1.

Пусть а и b — положительные числа и а > b  Доказать, что

Решение. Рассмотрим разность Имеем

По условию, а, b, а - b — положительные числа. Значит, - отрицательное число, т.е.  откуда следует, что

Пример 2.

Пусть а — положительное число. Доказать, что

Решение. Рассмотрим разность Имеем

Получили неотрицательное число, значит,

Заметим, что если a = 1; если же а ≠ 1, то