Алгебра 7-9 классы. 26. Линейные неравенства. Решение линейных неравенств

Подробности

Категория: Алгебра 7-9 классы

 РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения, т. е. находить те значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Точно так же свойства числовых неравенств помогут нам решать неравенства с переменной, т. е. находить те значения переменной, при которых неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Каждое такое значение переменной называют обычно решением неравенства с переменной.

Рассмотрим, например, неравенство

2х + 5 < 7.

Подставив вместо х значение 0, получим 5 < 7 — верное неравенство; значит, х = 0 — решение данного неравенства. Подставив вместо х значение 1, получим 7 < 7 — неверное неравенство; поэтому х = 1 не является решением данного неравенства. Подставив вместо х значение -3, получим -6 + 5 < 7, т.е. - 1 < 7 — верное неравенство; следовательно, х = -3 — решение данного неравенства. Подставив вместо х значение 2,5, получим 2 - 2,5 + 5 < 7, т. е. 10 < 7 — неверное неравенство. Значит, х = 2,5 не является решением неравенства.

Но вы же понимаете, что это — тупиковый путь: ни один математик не станет так решать неравенство, ведь все числа невозможно перебрать! Вот тут-то и нужно использовать свойства числовых неравенств, рассуждая следующим образом.

Нас интересуют такие числа х, при которых 2х + 5 < 7 — верное числовое неравенство. Но тогда и 2х + 5 - 5< 7 - 5 — верное неравенство (согласно свойству 2: к обеим частям неравенства прибавили одно и то же число — 5). Получили более простое неравенство 2х < 2. Разделив обе его части на положительное число 2, получим (на основании свойства 3) верное неравенство х < 1.

Что это значит? Это значит, что решением неравенства является любое число х, которое меньше 1. Эти числа заполняют открытый луч (-∞, 1). Обычно говорят, что этот луч — решение неравенства 2х + 5 < 7 (точнее было бы говорить о множестве решений, но математики, как всегда, экономны в словах). Таким образом, можно использовать два варианта записи решений данного неравенства: х < 1 или (-∞, 1).

Свойства числовых неравенств позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами:

Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Применим эти правила для решения линейных неравенств, т. е. неравенств, сводящихся к виду ах + b > 0 (или ах + b < 0),

где а и b — любые числа, за одним исключением: а ≠ 0.

Пример 1.

Решить неравенство Зх - 5 ≥ 7х - 15.

Р е ш е н и е.

Перенесем член 7х в левую часть неравенства, а член - 5 — в правую часть неравенства, не забыв при этом изменить знаки и у члена 7х, и у члена -5 (руководствуемся правилом 1). Тогда получим

Зх - 7х ≥ - 15 + 5, т. е. - 4х ≥ - 10.

Разделим обе части последнего неравенства на одно и то же отрицательное число — 4, не забыв при этом перейти к неравенству противоположного смысла (руководствуясь правилом 3). Получим х < 2,5. Это и есть решение заданного неравенства.

Как мы условились, для записи решения можно использовать обозначение соответствующего промежутка числовой прямой: (-∞, 2,5].

О т в е т: х < 2,5, или (-∞, 2,5].

Для неравенств, как и для уравнений, вводится понятие равносильности. Два неравенства f(x) < g(x) и r(x) < s(x) называют равносильными, если они имеют одинаковые решения (или, в частности, если оба неравенства не имеют решений).

Обычно при решении неравенства стараются заменить данное неравенство более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства. Эти преобразования как раз и указаны в сформулированных выше правилах 1—3.

Пример 2.

Решить неравенство

Р е ш е н и е.

Умножим обе части неравенства на положительное число 15, оставив знак неравенства без изменения (правило 2), Это позволит нам освободиться от знаменателей, т. е. перейти к более простому неравенству, равносильному данному:

Воспользовавшись для последнего неравенства правилом 1, получим равносильное ему более простое неравенство:

Наконец, применив правило 3, получим

О т в е т: или

В заключение заметим, что, используя свойства числовых неравенств, мы, конечно, сможем решить не любое неравенство с переменной, а только такое, которое после ряда простейших преобразований (типа тех, что были выполнены в примерах из этого параграфа) принимает вид ах > b (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства, строгого или нестрогого).