Истечение жидкости из отверстий и насадков

Подробности: Категория: Гидравлика

Документальные учебные фильмы. Серия «Физика».

Истечение — если две материальные среды отделены друг от друга стенкой, имеющей отверстия, и давления, под которыми находятся эти среды, неодинаковы, то среда, находящаяся под большим давлением, исходит в соседнюю среду в виде струи - потока первой среды, ограниченного со всех сторон второй средой. Это явление называется истечением. И. происходит или под влиянием внешних сил, или под влиянием силы тяжести, или, наконец, под совокупным их действием. От И. нужно отличать выход одной среды в другую, находящуюся под тем же давлением, под влиянием одних внутренних (молекулярных сил); это явление есть диффузия (см.). И. тел наблюдается при всех трех состояниях их — твердом, жидком и газообразном. Легче и чаще всего наблюдается И. жидкостей, и поэтому И. изучено почти исключительно на жидкостях; найденные законы с успехом применены были впоследствии к твердым телам и газам. Теория И. составляет одну из важных глав гидродинамики — учения о движении жидкостей; практическая ее сторона и приложения рассматриваются в гидравлике или гидротехнике.

И. жидкостей.

Предполагая жидкость несжимаемой и не имеющей внутреннего трения, СПб. академик Д. Бернулли (1726) дал следующий основной закон для струй: если назовем скорость струи в одном ее сечении $V_1$ , давление в ней в этом месте $p_1$ , те же величины для другого сечения $V_0$ и $p_0$ , разницу по высоте этих двух сечений $h$ , ускорение силы тяжести — $g$ , a плотность жидкости $\omega$ , то

\frac{V_1^2 - V_0^2}{2g} = h + \frac{p_0 - p_1}{\omega}

(1.)

Прилагая это уравнение к И. жидкости из отверстия в весьма тонкой стенке и полагая, что один конец струи есть внешняя поверхность жидкости с сечением $q_0$ , а другой — отверстие с сечением $q_1$ , и заметив, что для неразрывности струи необходимо, чтобы $V_0q_0 = V_1q_1$ , находим общее выражение для скорости И.

V_1^2 = \frac{2gh + 2\tfrac{p_1 - p_0}{\omega}}{1 - \left(\tfrac{q_1}{q_0}\right)^2}

(2.)

Если положим, что сечение $q_1$ отверстия совершенно незначительно в сравнении с сечением $q_0$ внешней поверхности, давления $p_1$ и $p_0$ одинаковы и И. жидкости происходит под влиянием одной силы тяжести, то получим

V_1^2 = 2gh

, или

V_1 = \sqrt{2gh}

(3.)

основной простой закон И. жидкостей под влиянием силы тяжести, опытно найденный (1643) Торричелли и опубликованный им в его сочинении «De Motu gravium projectorum». Этот закон, которым обыкновенно и пользуются в практической гидравлике, гласит, что скорость И. пропорциональна корню квадратному из высоты уровня жидкости над отверстием и из ускорения силы тяжести. Справедливость этого закона многократно проверялась от времен Торричелли до нашего времени на опытах различных исследователей (Гуглиельмини — XVII ст., Л. Вебер — 1879 г., Вотье — 1888 г. и др.) и найдена справедливой до $\tfrac{1}{3}$ % (Вотье). Из формулы (3) видно, что если в двух случаях И. высоты уровней относятся как 1:4, то соответственные скорости И. будут относиться, как 1:2, и что отношение скоростей И. на экваторе и полюсе будет относиться, как $\sqrt{g_{ekv}}:\sqrt{g_{pol}}$ , т. е. как $\sqrt{978,1}:\sqrt{983,1}$ . Замечательно, что той же формулой (3) выражается скорость тела, упавшего с высоты $h$ , или скорость, которую следует придать телу, чтобы оно с земли поднялось вверх на высоту $h$ . Если отверстие в дне сосуда, то жидкость, как брошенное из отверстия тело, падает вертикальной струей вниз. Если же отверстие находится в боковом придатке сосуда и обращено кверху, то жидкость поднимается фонтаном вверх, до высоты уровня жидкости (см. Фонтан); в действительности вследствие трения воздуха и давления падающей уже вниз жидкости на подымающуюся струю и др. причин (см. ниже) высота фонтана никогда не достигает высоты уровня, а меньше ее; по Мариотту (1686), для достижения высоты фонтана в $h$ париж. фт. нужна разность уровней не в $h$ фт., но в $h(1 + \tfrac{h}{300})$ ; позже Вейсбах дал более близкие к истине формулы для высоты фонтанов. Если отверстие сделано сбоку сосуда, то жидкость, следуя совокупному действию силы, выжимающей ее в горизонтальном направлении из отверстия, и силе тяжести, влекущей ее вертикально вниз, падает на землю струей, имеющей форму параболы, подобно тому, как падает брошенный горизонтально с той же скоростью камень. Из свойств параболы и формулы (3) выводим:

расстояния точек падения струи от основания сосуда относятся, как корни квадратные из высот уровня над отверстием;
расстояния точек падения пропорциональны корням квадратным из высот отверстия над поверхностями, на которые струи падают;
две струи, из которых одна на столько же ниже уровня жидкости, на сколько другая выше поверхности падения, попадают на этой поверхности в точки, равноотстоящие от основания сосуда.

В закон Торричелли не входят величины, характеризующие жидкость, следовательно, скорость И. всех жидкостей одинакова; не нужно забывать, что это справедливо лишь для равных высот уровня, но не для равных давлений на жидкость — при равных давлениях скорости И. разных жидкостей обратно пропорциональны корням квадратным из их плотностей; так, напр., из парового котла с общим для воды и пара давлением в 8 атм. пар вытекает в 15 раз быстрее воды (Рэнкин). Небольшую разницу в скорости И. разных жидкостей производит их внутреннее трение (см. ниже). Если И. жидкости происходит из нескольких боковых отверстий, находящихся одно над другим, то законы И. весьма усложняются; скорость И. из какого-либо отверстия в этом случае менее той скорости, которая была бы, если над ним не было бы других отверстий.

До сих пор все относилось к тому случаю И., когда уровень во все время И. поддерживается постоянным; если же уровень не поддерживается постоянным, то он по мере И. падает все медленнее и медленнее ввиду все большего и большего уменьшения высоты уровня, и, наконец, И. прекращается, когда жидкость достигнет уровня отверстия. В гидравлике доказывается, что время, потребное на такое опорожнение сосуда, в два раза больше, чем время, в которое при неизменном первоначальном уровне выльется одинаковый объем жидкости. Для устройства водяных и песочных часов важно придать сосуду такую форму, чтобы во все время И. уровень в каждую единицу времени опускался на одну и ту же величину; теория дает для такого сосуда форму, похожую на форму цветка тюльпана, и приблизительно в такой форме и устраиваются эти часы. Если сосуд, из которого происходит И., сверху закрыть, то по мере И. воздух над жидкостью разрежается, давление на жидкость уменьшается, скорость И. замедляется и И. может даже совершенно приостановиться; случай этот исследован был Шевеном (1882). — Если отверстия значительны по размерам сравнительно с высотой уровня, то каждая часть струи имеет свою скорость и за среднюю скорость принимают обыкновенно скорость той частицы, которая проходит центр тяжести фигуры, представляющей отверстие. Результаты опытов показали, что все же в практике нельзя принимать скорость И., даваемую формулой Торричелли, за истинную, которая всегда меньше теоретической. В гидравлике формулу (3) пишут в следующем виде:

V = a\sqrt{2gh}

(4.)

где $a$ , по опытам разных наблюдателей, колеблется между 0,95 и единицей, в среднем = 0,97; причина этого отступления лежит, вероятно, в трении воды о стенки сосуда; вопрос об истинной величине его и даже вопрос о существовании его еще нельзя считать разрешенным.

Если вычислить количество вытекшей в единицу времени жидкости, взяв произведение сечения отверстия на скорость струи, то мы найдем, что вычисленное таким образом количество жидкости будет много больше истинного. Причину этого легко найти, если обратить внимание на то, что струя по выходе из отверстия конически суживается до некоторой толщины и затем продолжает течь с этим новым меньшим сечением струи. Причина этого сжатия струи (contractio venae) лежит в том, что частицы жидкости притекают к отверстию не только сверху, но и сбоку, а следовательно, имеют боковые скорости, благодаря которым идут наклонно к отверстию и сжимают струю. Явление это в первый раз замечено было Ис. Ньютоном и описано в его «Principia» (1714). При И. жидкости за размер отверстия И. следует принимать сечение наиболее узкой части струи, а следовательно, помножить истинное отверстие на отношение сечения его к сечению суженной струи; это отношение называется коэффициентом сжатия (контракции) — К. Формула для количества вытекшей жидкости:

M = Ka\sqrt{2gh}

(5.)

Средняя величина $K = 0,62$ ; в действительности $K$ зависит от формы отверстия, от давления и множества других причин. Были попытки теоретически вычислить $K$ ; Бернулли дал $K = \tfrac{1}{\sqrt{2}} = 0,707$ , Байер (1848) — $(\tfrac{\pi}{2})^2 = 0,617$ [ $\pi$ — отношение окружности к диаметру = 3,14159.], Рэлей (1879) и Кетер (1887) для отверстий в виде щели $K = \tfrac{\pi}{\pi+2} = 0,611$ ; границы, теоретически возможные для $K$ для круглых отверстий в тонкой стенке, по Кетеру (1887),.... $K > 0,536$ и $K < 0,71$ . Опытно определяли величину $K$ Понселе, Пуазейль, Унвин, Вейсбах и др.; с увеличением отверстия и увеличением давления — $K$ уменьшается, хотя для некоторых форм отверстия изменения величины K следуют другим законам. — До сих пор мы рассматривали И. из весьма тонкой стенки; если стенка толста или отверстие имеет короткие насадки, то законы И. изменяются. Если насадка в виде короткой цилиндрической трубки входит внутрь жидкости (насадка Борда), то теория дает для K наименьшую величину $K = \tfrac{1}{2}$ , а опыты от 0,51 (Борда) до 0,55 (Бидоне). Если эта насадка представляет выходящий из стенок сосуда цилиндр, то сузившаяся струя снова расширяется и при выходе из насадки занимает уже все ее сечение; в этом случае, как дает теория и подтверждает опыт, $K = 0,82$ . Если внешняя насадка имеет коническую форму, близкую к форме основания струи, то $K$ должно быть близко к 1, т. е. количество жидкости вытекшей должно быть близко к теоретическому; это и подтверждается опытом; так, Мишелотти нашел в этом случае $K = 0,984$ . Сечение такой совершенной насадки легко построить, если нарисовать трапецию, большее основание которой равнялось бы диаметру отверстия $D$ , высота $0,5 D$ , нижнее основание $0,8 D$ , и бока которой заменены дугами радиуса $1,3 D$ . В случае такой насадки струя не представляет сужения и вполне примыкает к стенкам. Некоторыми комбинациями конических насадок можно даже сделать $K > 1$ и почти равным $1\tfrac{1}{2}$ .

В практической гидравлике (устройство плотин, шлюзов и т. д.) важен случай И. при посредстве перелива, т. е. когда одна из стенок сосуда имеет отверстие, доходящее до самого верха стенки, или когда вся стенка или часть ее ниже уровня жидкости. В этом случае теория дает для количества вытекшей в единицу времени жидкости

M = nLK\sqrt{2g\left(h - \frac{n}{2}\right)}

(6.)

где $h$ — глубина выреза в стенке, $L$ — длина его, а $n$ — толщина струи; величина $n$ , по наблюдениям Понселе и Лебро (1851), около $0,86 h$ , а коэффициент $K$ для этих случаев равен около 0,62. При этих данных формула (6) приобретает вид:

M = 0,4Lh\sqrt{2gh}

(7.)

В практической гидравлике пользуются для случая перелива и другими формулами, выведенными эмпирически. На основании почти исключительно эмпирических данных построены правила И. и для других весьма разнообразных случаев гидротехники.

Трение о стенки сосуда, почти не влияющее на И. при отверстиях в самой стенке, становится заметным, когда место И. соединено с сосудом длинной трубкой. В этом случае скорость И. меньше и величина $V$ формулы (2) приобретает вид:

V^2 = \frac{2gh + 2\tfrac{p_1 - p_0}{\omega}}{1 - \left(\tfrac{q_1}{q_0}\right)^2 + R}

(8.)

где $R$ некоторая величина, зависящая от трения о стенки трубки, которая выражается:

R = \alpha. \frac{l.u}{q}

(9.)

где $l$ — длина трубы, $u$ — периметр еe отверстия, $q$ — еe сечение, а $\alpha$ — коэффициент трения, зависящий от жидкости и от стенок трубки; величина $\alpha$ зависит от скорости $V$ и, по г. Смису (1884), выражается формулой:

\alpha=0,0033 + \left[0,00225 +\frac{0,000035}{d}\right]\sqrt{ \dots}

(10.)

где $d$ — диаметр трубки. Подробности течения по трубкам — см. Течение.

При И. жидкостей, смачивающих стенки трубок из самых тонких волосных (капиллярных) трубочек, главную роль играет уже не трение жидкости о стенки, а внутреннее собственное трение одних слоев жидкости о другие. Теорию этого случая И. дал Пуазейль (1842) и разработали Нейман, Гельмгольц и др. Для случая жидкости, смачивающей стенки сосуда, эти ученые вывели, что количество ( $M$ ) вытекшей в единицу времени жидкости равно

M = \frac{\pi P}{8 \rho l} R^4

(11.)

где $P$ — давление, $R$ — радиус трубки, $l$ — ее длина, $\rho$ — коэффициент внутреннего трения, а $\pi= 3,14159$ . Пользуясь этой формулой, выводят обыкновенно коэффициенты внутреннего трения на основании наблюдений над И. жидкостей из волосных трубок.

По материалам Викитека

Истечение жидкости из отверстий и насадков

И. жидкостей.

Похожие материалы

Материалы

Популярное

Последние материалы