Квантовая механика

Документальные учебные фильмы. Серия «Физика».

 

Гипотеза де-Бройля. Волновые свойства вещества

Недостаточность теории Бора указывала на необходимость пересмотра основ квантовой теории и представлений о природе микрочастиц (электронов, про недостаточность теории Бора указывала на необходимость пересмотра основ квантовой теории и представлений о природе микрочастиц (электронов, протонов и т. п.). Возник вопрос о том, насколько исчерпывающим является представление электрона в виде малой механической частицы, характеризуемой определенными-координатами и определенной скоростью.

В результате углубления представлений о природе света выяснилось, что в оптических явлениях обнаруживается своеобразный дуализм. Наряду с такими свойствами света, которые самым непосредственным образом свидетельствуют о его волновой природе (интерференция, дифракция), имеются и другие свойства, столь же непосредственно обнаруживающие его корпускулярную природу (фотоэффект, явление Комптона).

В 1924 г. Луи де-Бройль выдвинул смелую гипотезу, что дуализм не является особенностью одних только оптических явлений, но имеет универсальное значение. «В оптике, — писал он, в течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновым; не делалась ли в теории вещества обратная ошибка?». Допуская, что частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами имеют также и волновые, де-Бройль перенес на случай частиц вещества те же правила перехода от одной картины к другой, какие справедливы в случае света. Фотон обладает энергиейонов и т. п.). Возник вопрос о том, насколько исчерпывающим является представление электрона в виде малой механической частицы, характеризуемой определенными-координатами и определенной скоростью.

и импульсом





По идее де-Бройля, движение электрона или какой-либо другой частицы связано с волновым процессом, длина волны которого равна

 

а частота

 Гипотеза де-Бройля вскоре бы

ла подтверждена экспериментально. Дэвиссон и Джермер исследовали в 1927 г. отражение электронов от монокристалла никеля, принадлежащего к кубической системе. Узкий пучок моноэнергетических электронов направлялся на поверхность монокристалла, сошлифованную перпендикулярно к большой диагонали кристаллической ячейки. Отраженные электроны улавливались цилиндрическим электродом, присоединенным к гальванометру (рис. 18.1). Интенсивность отраженного пучка оценивалась по силе тока, текущего через гальванометр. Варьировались скорость электронов и угол φ. На рис. 18.2 показана зависимость силы тока, измеряемой гальванометром, от угла φ при различных энергиях электронов.

Вертикальная ось на графиках определяет направление падающего пучка. Сила тока в заданном направлении представляется длиной отрезка, проведенного от начала координат до пересечения с кривой. Из рисунка видно, что рассеяние оказалось особенно интенсивным при определенном значении угла φ. Этот угол соответствовал отражению от атомных плоскостей, расстояние между которыми d было известно из рентгенографических исследований. При данном φ сила тока оказалась особенно значительной при ускоряющем напряжении, равном 54 В. Вычисленная по формуле (18,1) длина волны, отвечающая этому напряжению, равна 1,67 А. Брэгговская длина волны, отвечающая условию )

равнялась 1,65 А. Совпадение настолько разительно, что опыты Дэвиссона и Джермера следует признать блестящим подтверждением идеи де-Бройля.
Г. П. Томсон (1927) и независимо от него П. С. Тартаковский получили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу. Опыт осуществлялся следующим образом (рис. 18.3).

 

Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов порядка нескольких десятков киловольт, проходил через тонкую металлическую фольгу и попадал на фотопластинку. Электрон при ударе о фотопластинку оказывает на нее такое же действие, как и фотон. Полученная таким способом электронограмма золота (рис. 18.4, а) сопоставлена с полученной в аналогичных условиях рентгенограммой алюминия (рис. 18.4,б).

алюминия (рис. 18.4,6). Сходство обеих картин поразительно. Штерн и его сотрудники показали, что дифракционные явления обнаруживаются также у атомных и молекулярных пучков. Во всех перечисленных случаях дифракционная картина. соответствует длине волны, определяемой соотношением (18.1).

В опытах Дэвиссона и Джермера, а также в опытах Томсона интенсивность электронных пучков была столь велика, что через кристалл проходило одновременно большое число электронов. Поэтому можно было предположить, что наблюдаемая дифракционная картина обусловлена одновременным участием в процессе большого числа электронов, а отдельный электрон, проходя через кристалл, дифракции не обнаруживает. Чтобы выяснить этот вопрос, советские физики Л. М. Биберман, Н. Г. Сушкин и В. А. Фабрикант осуществили в 1949 г. опыт, в котором интенсивность электронного пучка была настолько слабой, что электроны проходили через прибор заведомо поодиночке. Промежуток времени между двумя последовательными прохождениями электронов через кристалл примерно в 30 000 раз превосходил время, затрачиваемое электроном на прохождение всего прибора. При достаточной экспозиции была получена дифракционная картина, ничем не отличающаяся от той, какая наблюдается при обычной интенсивности пучка. Таким образом, было доказано, что волновые свойства присущи отдельному электрону.

 Необычные свойства микрочастиц

Микрочастицами называют элементарные частицы (электроны, протоны, нейтроны, фотоны и другие простые частицы), а также сложные частицы, образованные из сравнительно небольшого числа элементарных частиц (молекулы, атомы, ядра атомов и т. п.).

Термин «микрочастица» отражает только одну сторону объекта, к которому он применяется. Всякий микрообъект (молекула, атом, электрон, фотон и т. д.) представляет собой образование особого рода, сочетающее в себе свойства и частицы, и волны. Может быть, правильнее было бы называть его «частицей-волной».

Микрообъект не способен воздействовать непосредственно на наши органы чувств — ни видеть, ни осязать его нельзя. Ничего подобного микрообъектам в воспринимаемом нами мире не существует. Микротела «не похожи ни на что из того, что вам хоть когда-нибудь приходилось видеть»1).

«Раз поведение атомов так непохоже на наш обыденный опыт, то к нему очень трудно привыкнуть. И новичку в науке, и опытному физику — всем оно кажется своеобразным и туманным. Даже большие ученые не понимают его настолько, как им хотелось бы, и это совершенно естественно, потому что весь

непосредственный опыт человека, вся его интуиция — все прилагается к крупным телам. Мы знаем, что будет с большим предметом; но именно так мельчайшие тельца не поступают. Поэтому, изучая их, приходится прибегать к различного рода абстракциям, напрягать воображение и не пытаться связывать их с нашим непосредственным опытом».

В доквантовой физике «понять» означало составить себе наглядный образ объекта или процесса. Квантовую физику нельзя понять в таком смысле слова. Всякая наглядная модель неизбежно будет действовать по классическим законам и поэтому непригодна для представления квантовых процессов. Поэтому самое правильное, что можно сделать, — это отказаться от попыток строить наглядные модели поведения квантовых объектов. Отсутствие наглядности поначалу может вызвать чувство неудовлетворенности, но со временем это чувство проходит, и все становится на свои места.

Сочетая в себе свойства частицы и волны, микротела «не ведут себя ни как волны, ни как частицы...». Отличие микрочастицы от волны заключается в том, что она всегда обнаруживается как неделимое целое. Никто никогда не наблюдал, например, полэлектрона. В то же время волну можно разделить на части (например, направив световую волну на полупрозрачное зеркало) и воспринимать затем каждую часть в отдельности. Отличие микрочастицы от привычной нам макрочастицы заключается в том, что она не обладает одновременно определенными значениями координаты и импульса, вследствие чего понятие траекторий применительно к микрочастице утрачивает смысл.

Своеобразие свойств микрочастиц отчетливее всего обнаруживается в следующем мысленном эксперименте)» Направим на преграду с двумя узкими щелями параллельный пучок моно-энергетических (т. е. обладающих одинаковой кинетической энергией) электронов (рис. 19.1). За преградой поставим фотопластинку Фп. Вначале закроем вторую щель и произведем экспонирование в течение времени т. Почернение на обработанной фотопластинке будет характеризоваться кривой 1 на рис. 19.1,б. Вторую фотопластинку подвергнем экспозиции в течение того же времени т, закрыв первую щель. Характер почернения передается в этом случае кривой 2 на рис. 19.1,б. Наконец, откроем обе щели и подвергнем экспонированию в течение времени т третью пластинку. Картина почернения, получающаяся в последнем случае, изображена на рис. 19.1 в. Эта картина отнюдь не эквивалентна наложению первых двух картин. Она оказывается аналогичной картине, получающейся при интерференции двух когерентных световых волн. Характер картины свидетельствует о том, что на движение каждого электрона оказывают влияние оба отверстия. Такой вывод несовместим с представлением о траекториях. Если бы электрон в каждый момент времени находился в определенной точке пространства и двигался по траектории, он проходил бы через определенное отверстие — первое или второе. Явление же дифракции доказывает, что в прохождении каждого электрона участвуют оба отверстия — и первое, и второе.

Не следует, однако, представлять дело так, что какая-то часть электрона проходит через одно отверстие, а другая часть — через второе. Мы уже отмечали, что электрон, как и другие микрочастицы, всегда обнаруживается как целое, с присущей ему массой, зарядом и другими характерными для него величинами. Таким образом, электрон, протон, атомное ядро представляют собой частицы с весьма своеобразными свойствами. Обычный шарик, даже и очень малых размеров (макроскопическая частица), не может служить прообразом микрочастицы. С уменьшением размеров начинают проявляться качественно новые свойства, не обнаруживающиеся у макрочастиц.

В ряде случаев утверждение об отсутствии траекторий у микрочастиц, казалось бы, противоречит опытным фактам. Так, например, в камере Вильсона путь, по которому движется микрочастица, обнаруживается в виде узких следов (треков), образованных капельками тумана; движение электронов в электроннолучевой трубке превосходно рассчитывается по классическим законам, и т. п. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что при известных условиях понятие траектории оказывается применимым к микрочастицам, но только с некоторой степенью точности. Положение оказывается точно таким, как и в оптике. Если размеры преград или отверстий велики по сравнению с длиной волны, распространение света происходит как бы вдоль определенных лучей (траекторий). При определенных условиях понятие траектории оказывается приближенно применимым к движению микрочастиц, подобно тому как оказывается справедливым закон прямолинейного распространения света. Принцип неопределенности

В классической механике состояние материальной точки (классической частицы) определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т. д. Перечисленные величины называются динамическими переменными. Строго говоря, микрообъекту не могут быть приписаны указанные динамические переменные. Однако информацию о микрочастицах мы получаем, наблюдая их взаимодействие с приборами, представляющими собой макроскопические тела. Поэтому результаты измерений поневоле выражаются в терминах, разработанных для характеристики макротел, т. е. через значения динамических переменных. В соответствии с этим измеренные значения динамических переменных приписываются микрочастицам. Например, говорят о состоянии электрона, в котором он имеет такое-то значение энергии, и т. д.

Своеобразие свойств микрочастиц проявляется в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определенные значения. Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может иметь, одновременно точных значений координаты х и компоненты импульса Неопределенности значений х и рх удовлетворяют соотношению

(h— постоянная Планка). Из (20.1) следует, что чем меньше неопределенность одной из переменных (x или Px), тем больше неопределенность другой. Возможно такое состояние, в котором одна из переменных имеет точное значение, другая переменная при этом оказывается совершенно неопределенной (ее неопределенность равна бесконечности).

Соотношение, аналогичное (20.1), имеет место для у и для Py,а также для ряда других пар величин (в классической механике такие пары величин называются канонически сопряженными). Обозначив канонически сопряженные величины буквами А и В, можно написать.

Соотношение (20.2) называется соотношением неопределенности для величин А и В, Это соотношение открыл В. Гейзенберг в 1927 г.

Утверждение о том, что произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка h, называется принципом неопределенности Гейзенберга.

Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенности:

Это соотношение означает, что определение энергии с точностью ΔЕ должно занять интервал времени, равный но меньшей мере Δt ~ h/ΔЕ. Соотношение неопределенности было установлено из рассмотрения, в частности, следующего примера. Попытаемся определить значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель ширины Δx:, расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы (рис. 20.1).

До прохождения частицы через щель ее составляющая импульса Pх имеет точное значение, равное нулю (щель по условию перпендикулярна к импульсу), так что Δрх = 0, зато координата х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координаты х появляется неопределенность Δx, но это достигается ценой утраты определенности значения Pх. Действительно, вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2ф, где ф — угол, соответствующий первому дифракционному минимуму (максимумами высших порядков можно пренебречь, поскольку их интенсивность мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума). Таким образом, появляется неопределенность:

Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму), получающемуся от щели ширины Δx  соответствует угол ф, для которого

Следовательно,

Отсюда с учетом (18.1) получается соотношение

согласующееся с (20.1).

Иногда соотношение неопределенности получает следующее толкование: в действительности у микрочастицы имеются точные значения координат и импульсов, однако ощутимое для такой частицы воздействие измерительного прибора не позволяет точно определить эти значения. Такое толкование является совершенно неправильным. Оно противоречит наблюдаемым на опыте явлениям дифракции микрочастиц.

Соотношение неопределенности указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Движение по траектории характеризуется вполне определенными значениями координат и скорости в каждый момент времени. Подставив в (20.1) вместо Pх произведение mvx, получим соотношение

 

Мы видим, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью применимо понятие траектории. Уже для макрочастицы размером всего 1 мкм неопределенности значений х и vx оказываются за пределами точности измерения этих величин, так что практически ее движение будет неотличимо от движения по траектории.

При определенных условиях даже движение микрочастицы может приближенно рассматриваться как происходящее по траектории. В качестве примера рассмотрим движение электрона в электренно-лучевой трубке. Оценим неопределенности координаты и импульса электрона для этого случая. Пусть следэлектронного пучка на экране имеет радиус r порядка 10-3 см, длина трубки L порядка 10 см (рис. 20.2).

Тогда ΔPx/Px ~ 10-4. Импульс электрона связан с ускоряющим напряжением U соотношением

Отсюда При напряжении U~ 104 В энергия электрона равна 104 эВ = 1,6х10-8 эрг. Оценим величину импульса :

 Следовательно, ΔPx ≈ 5x10-18 x 10-4 =5x10-22

И, наконец согласно соотношению (20.1):

Полученный результат указывает на то, что движение электрона в электронно-лучевой трубке практически неотличимо от движения по траектории.

Соотношение неопределенности является одним из фундаментальных положений квантовой механики. Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов, В частности, оно позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома, а также оценить, размеры простейшего атома и минимальную возможную энергию электрона в таком атоме.

Если бы электрон упал на точечное ядро, его координаты и импульс приняли бы определенные (нулевые) значения, что несовместимо с принципом неопределенности. Этот принцип требует, чтобы неопределенность координаты электрона Δr и неопределенность импульса ΔP были связаны условием (20.1), Формально энергия была бы минимальна при r = 0 и P=0. Поэтому, производя оценку наименьшей возможной энергии, нужно положить Δr≈r и ΔP≈P. Подставив эти значения в (20.1), получим соотношение

(поскольку наши выкладки могут претендовать лишь на то, что бы дать порядки вычисляемых величин, половину в правой части мы опустили).

Энергия электрона в атоме водорода равна

Заменив согласно (20.4) р через h/r, получим, что

Найдем значение r, при котором Е минимальна. Продифференцировав выражение (20.5) по r и приравняв производную нулю, придем к уравнению:

из которого следует, что

Полученное нами значение совпадает с радиусом первой боровской орбиты водородного атома (см. формулу (17.4)).

Подстановка выражения (20.6) в формулу (20.5) дает энергию основного состояния:

Найденное значение также совпадает с энергией первого боровского уровня для Z = 1 (см. формулу (17.5)).

То обстоятельство, что мы получили точные значения r и E является, конечно, просто удачей. Приведенный нами расчет может претендовать лишь на то, чтобы дать оценку порядка величин r и Е.

 

 Уравнение Шрёдингера

В развитие идеи де-Бройля о волновых свойствах вещества Э. Шрёдингер получил в 1926 г. свое знаменитое уравнение. Шрёдингер сопоставил движению микрочастицы комплексную функцию координат и времени, которую он назвал волновой функцией и обозначил греческой буквой «пси» (ψ или Ψ) будем называть ее пси-функцией.

Пси-функция характеризует состояние микрочастицы. Вид функции получается из решения уравнения Шрёдингера, которое выглядит следующим образом:

Здесь m — масса частицы, i — мнимая единица, V2 — оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию представляет собой сумму вторых частных производных по ко-ординатам:

Буквой U в уравнении (21.1) обозначена функция координат и времени, градиент которой, взятый с обратным знаком, определяет силу, действующую на частицу. В случае, когда функция U не зависит явно от времени, она имеет смысл потенциальной энергии частицы, Из уравнения (21.1) следует, что вид пси-функции определяется функцией U, т. е. в конечном счете характером сил, действующих на частицу.

Уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными фактами.

Шрёдингер установил свое уравнение, исходя из оптико-механической аналогии. Эта аналогия заключается в сходстве уравнений, описывающих ход световых лучей, с уравнениями, определяющими траектории частиц в аналитической механике. В оптике ход лучей удовлетворяет принципу Ферма , в механике вид траектории удовлетворяет так называемому принципу наименьшего действия.

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то функция V не зависит явно от времени и имеет, как уже отмечалось, смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шрёдингера распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой — только от времени:

Здесь Е — полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной. Чтобы убедиться в справедливости выражения (21.3), подставим его в уравнение (21.1). В результате получим соотношение

Сократив на общий множитель   придем к дифференциальному уравнению, определяющему функцию Ψ:

Уравнение (21.4) называется уравнением Шрёдин-гера для стационарных состояний. В дальнейшем мы будем иметь дело только с этим уравнением и для краткости будем называть его просто уравнением Шрёдингера. Уравнение ,(21.4) часто пишут в виде

Поясним, как можно прийти к уравнению Шрёдингера. Для простоты ограничимся одномерным случаем. Рассмотрим свободно движущуюся частицу. Согласно идее де-Бройля ей нужно сопоставить плоскую волну

 (в квантовой механике принято показатель экспоненты брать со знаком минус). Заменив в соответствии с (18.1) и (18.2) придем к выражению:

Продифференцировав это выражение один раз по t, а второй раз дважды по х, получим

 

Отсюда

В нерелятивистской классической механике энергия и импульс р свободной частицы связаны соотношением

Подставив в это соотношение выражения (21.7) для E и P2 и сократив затем на Ψ, получим уравнение

которое совпадает с уравнением (21.1), если в последнем положить U = 0.

В случае частицы, движущейся в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, энергия Е и импульс р связаны соотношением

Распространив и на этот случай выражения (21.7) для Е и р2, получим

Умножив это соотношение на Ψ и перенеся член UΨ влево, придем к уравнению

совпадающему с уравнением (21.1).

Изложенные рассуждения не имеют доказательной силы и не могут рассматриваться как вывод уравнения Шрёдингера. Их цель— пояснить, каким образом можно было прийти к установлению этого уравнения.

В квантовой механике большую роль играет понятие оператора. Под оператором подразумевают правило, посредством которого одной функции (обозначим ее φ) сопоставляется другая функция (обозначим ее f). Символически это записывается следующим образом:

Здесь Q — символическое обозначение оператора (с таким же успехом можно было взять любую другую букву с «шляпкой» над ней, например A, U, М и т. д.). В формуле (21.2) роль Q играет V2, роль φ — функция Ψ, а роль f — правая часть формулы.

Под символом оператора скрывается совокупность действий, с помощью которых исходная функция (φ) превращается в другую функцию (f). Например, под символом V2 скрывается двукратное дифференцирование по всем трем координатам и с последующим суммированием полученных выражений. Оператор может, в частности, представлять собой умножение исходной функции ф на некоторую функцию U. Тогда f = Uφ

Если рассматривать функцию U в уравнении (21.4) как оператор, действие которого на пси-функцию сводится к умножению ф на U, то уравнению (21.4) можно придать вид

 

В этом уравнении символом обозначен оператор, равный сумме операторов —

Оператор называют гамильтонианом.

Гамильтониан является оператором энергии Е. В квантовой механике другим динамическим переменным также сопоставляются операторы. Соответственно рассматриваются операторы координат, импульса, момента импульса и т. д. Для каждой динамической переменной q составляется уравнение, аналогичное уравнению (21.9). Оно имеет вид

где Q — оператор, сопоставляемый динамической переменной q.

 Смысл пси-функции

Правильную интерпретацию пси-функции дал М. Борн в 1926 г. Согласно Борну квадрат модуля пси-функции определяет вероятность dP того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:

(А — коэффициент пропорциональности).

Интеграл от выражения (22.1), взятый по всему объему, должен равняться единице:

Действительно, этот интеграл дает вероятность того, что частица Находится в одной из точек пространства, т. е. вероятность достоверного события, которая равна единице.

В квантовой механике принимается, что пси-функция допускает умножение на отличное от нуля произвольное комплексное число С, причем Ψ и СΨ описывают одно и то же состояние частицы. Это обстоятельство позволяет выбрать пси-функцию так, чтобы она удовлетворяла условию

Условие (22.3) носит название условия нормировки. Функции, удовлетворяющие этому условию, называются нормированными. В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что рассматриваемые нами пси-функции являются нормированными.
Для нормированной функции выражение (22.1) имеет вид

(это вытекает из сравнения формул (22.2) и (22.3)). Из (22.4) заключаем, что квадрат модуля пси-функции дает плотность вероятности (вероятность, отнесенную к единице объема) нахождения частицы в соответствующем месте пространства.

В случае стационарного силового поля пси-функция имеет вид (21.3). Соответственно

так что плотность вероятности равна  и, следовательно, от времени не зависит. По этой причине состояния, описываемые пси-функциями вида (21.3), и были названы стационарными.

Из смысла пси-функции вытекает, что квантовая механика имеет статистический характер. Она не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию, по которой движется частица. С помощью пси-функции можно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства. На первый взгляд может показаться, что квантовая механика дает значительно менее точное и исчерпывающее описание движения частицы, чем классическая механика, которая определяет «точно» местоположение и скорость частицы в каждый момент времени. Однако- в действительности это не так. Квантовая механика гораздо глубже вскрывает истинное поведение микрочастиц. Она лишь не определяет того, чего нет на самом деле. В применении, к микрочастицам понятия определенного местоположения и траектории, как мы уже отмечали, вообще теряют смысл.

 Квантование энергии

Уравнение Шрёдингера позволяет найти пси-функцию данного состояния и, следовательно, определить вероятность нахождения частицы в различных точках пространства. Однако этим далеко не исчерпывается значение указанного уравнения. Из уравнения (21.9) и условий, налагаемых на пси-функцию, непосредственно вытекают правила квантования энергии.

В соответствии со своим смыслом пси-функция должна быть однозначной, непрерывной и конечной (за исключением, быть может, особых точек). Кроме того, она должна иметь непрерывную и конечную производную. Совокупность перечисленных требований носит название стандартных условий.

В уравнение Шрёдингера входит в качестве параметра полная энергия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (21.9) имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых значениях параметра (т. е. энергии E), а лишь при некоторых избранных значениях. Эти избранные значения называются собственными значениями соответствующей величины (в нашем случае— энергии). Решения, соответствующие собственным значениям Е, называются собственными функциями задачи.

Совокупность собственных значений называется спектром величины. Если эта совокупность образует дискретную последовательность, спектр называется дискретным. Если собственные значения образуют непрерывную последовательность, спектр называют непрерывным или сплошным. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только таких задач, у которых спектр собственных значений является дискретным.

В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать:

Таким образом, квантование энергии получается из основных положений квантовой механики без каких-либо дополнительных предположений.

Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, представляет весьма трудную математическую задачу. Мы рассмотрим пример, достаточно простой для того, чтобы можно было решить уравнение Шрёдингера без большого труда.

Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: = и . Потенциальная энергия U имеет в этом случае следующий вид (рис. 23.1,а): она равна нулю при и обращается в бесконечность при

Возьмем уравнение Шрёдингера в виде (21.5). Поскольку пси-функция зависит только от координаты х, уравнение упрощается следующим образом:

 За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна нулю. Соответственно и функция за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что должна быть равна нулю и на границах ямы, т. е. что

Это и есть то условие, которому должны удовлетворять решения уравнения (23.2).

В области, где не равна тождественно нулю, уравнение (23.2) имеет вид

(в этой области U = 0). Введя обозначение

Квантование энергии

 

придем к уравнению, хорошо известному из теории колебаний:

Решение этого уравнения имеет вид)

Условиям (23.3) можно удовлетворить соответствующим выбором постоянных k и а. Прежде всего из условия получаем

откуда следует, что а должна быть равна нулю. Далее, должно выполняться условие:

что возможно лишь в случае, если

(n = 0 отпадает, поскольку при этом получается — частица нигде не находится).

Исключив k из уравнений (23.5) и (23.7), найдем собственные значения энергии частицы:

Спектр энергии оказался дискретным. На рис. 23.1,6 изображена схема энергетических уровней.

Оценим расстояния между соседними уровнями для различных значений массы частицы m и ширины ямы l Разность энергий двух соседних уровней равна

Если взять m порядка массы молекулы (~10-23 г), а l порядка 10 см (молекулы газа в сосуде), получается:

Столь густо расположенные энергетические уровни будут практически восприниматься как сплошной спектр энергии, так что хотя квантование энергии в принципе будет иметь место, но на характере движения молекул сказываться не будет.

Аналогичный результат получается, если взять m порядка массы электрона (~ 10-27 г) при тех же размерах ямы (свободные электроны в металле). В этом случае

Однако совсем иной результат получается для электрона, если область, в пределах которой он движется, будет порядка атомных размеров (~10-8 см). В этом случае

так что дискретность энергетических уровней будет весьма заметной.

Подставив в (23.6) значение k получающееся из условия (23.7), найдем собственные функции задачи:

(напомним, что а — 0). Для нахождения коэффициента о воспользуемся условием нормировки (22.3), которое в данном случае запишется следующим образом:

На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в нуль. Поэтому значение интеграла можно

получить, умножив среднее значение     (равное, как

известно, 1/2) на длину промежутка I. В результате получится: , откуда     Таким образом, собственные функции имеют вид

Графики собственных функций изображены на рис. 23.2, а. На рис. 23.2,б дана плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равная  Из графиков, например, следует, что в состоянии с n = 2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы, очевидно, несовместимо с представлением о траекториях. Отметим, что согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны.

Квантование момента импульса

Ранее было указано, что в квантовой механике каждой физической величине q сопоставляется оператор Q (для каждой величины оператор обозначается по-своему: для энергии  — для импульса — и т. д.). Решая уравнение

находят собственные значения оператора Q. Согласно одному из постулатов квантовой механики при измерениях физической величины q, представляемой оператором Q, могут получаться только результаты, совпадающие с собственными значениями этого оператора.

Возможны состояния, для которых при измерениях некоторой величины q всегда получается одно и то же значение qn. О таких состояниях говорят как о состояниях, в которых величина q имеет определенное значение. Однако возможны также состояния, для которых при измерениях получаются с разной вероятностью различные собственные значения оператора Q. О таких состояниях говорят как о состояниях, в которых величина q не имеет определенного значения.   

Применительно к моменту импульса в квантовой механике вводятся четыре оператора: оператор квадрата момента и три оператора проекций момента на оси координат:  и
 Оказывается, что одновременно могут иметь определенные значения лишь квадрат момента и одна из проекций момента на координатные оси. Две другие проекции оказываются при этом совершенно неопределенными ). Это означает, что «вектор» момента не имеет определенного направления и, следовательно, не может быть изображен, как в классической механике, с помощью направленного отрезка прямой.

Решение уравнения

является очень трудным. Поэтому мы ограничимся приведением конечных результатов: собственные значения оператора квадрата момента импульса равны

Здесь l — квантовое число, называемое азимутальным. Следовательно, модуль момента импульса может иметь лишь дискретные значения, определяемые формулой

Вид оператора довольно прост. Поэтому мы можем рассмотреть решение уравнения
 

в качестве еще одного примера на нахождение собственных значений (первый пример был рассмотрен в предыдущем параграфе, в котором были определены собственные значения энергии для частицы в потенциальной яме).

В сферических координатах оператор проекции момента импульса на полярную ось z (от которой отсчитывается полярный угол ) имеет вид

Следовательно, уравнение (24.3) выглядит следующим образом:

Подстановка приводит после сокращения на общий множитель к алгебраическому уравнению

из которого для а получается значение . Таким образом, решение уравнения (24.4) имеет вид

Для того чтобы эта функция была однозначной, необходимо выполнение условия: или

Это условие будет выполнено, если положить    где m —

целое положительное или отрицательное число либо нуль. Следовательно, оператор обладает дискретным спектром: 

По причинам, которые выяснятся в дальнейшем, m называется магнитным квантовым числом. Напомним, что квантование проекции момента было обнаружено экспериментально Штерном и Герлахом .

Поскольку проекция вектора не может превзойти модуль этого вектора, должно выполняться условие

Отсюда следует, что максимальное возможное значение равно I.

Для удобства обозрения напишем вместе полученные результаты:

Из этих формул вытекает, что всегда меньше М. Следовательно, направление момента импульса не может совпадать с выделенным в пространстве направлением. Это согласуется с тем обстоятельством, что направление момента в пространстве является неопределенным.

Подчеркнем, что отличные от (24.6) значения не могут наблюдаться ни при каких обстоятельствах. Следовательно, моменты макроскопических тел также подчиняются правилам (24.6). Правда, вследствие малости  дискретность моментов макроскопических тел практически не обнаруживается, подобно тому как вследствие малости элементарного заряда е не обнаруживается дискретность макроскопических электрических зарядов.

Отметим, что из правил квантования момента вытекает, что постоянную Планка можно рассматривать как естественную единицу момента импульса.

Момент импульса системы, состоящей из нескольких микрочастиц, равен сумме моментов отдельных частиц. Суммарный момент, как и всякий момент вообще, определяется выражением

 где L—азимутальное квантовое число результирующего момента. В случае системы, состоящей из двух частиц, число L может иметь значения:

где — числа, определяющие модули складываемых моментов по формуле

Легко сообразить, что результирующий момент может иметь или различных значений (нужно взять меньшее из двух l). 

В случае системы, состоящей из большего, чем два, числа частиц, максимальное значение квантового числа L, очевидно, равно сумме чисел l отдельных частиц. Чтобы найти минимальное значение L, нужно сложить сначала числа l любых двух частиц. Затем каждый из полученных результатов складывается с l третьей частицы, и т. д. Наименьшее из получившихся при этом чисел будет представлять собой минимальное возможное значение квантового числа L. Пусть, например,. Возможные значения суммарного момента первой и второй частиц определяются числами 0, 1 и 2. Сложение первого из этих результатов с дает L = 1, второго результата — L = 0, 1 и 2, третьего результата — L = 1, 2 и 3. Следовательно, квантовое число, определяющее результирующий момент в рассматриваемом случае, может иметь значения L = 0, 1, 2, 3. Минимальное значение L оказалось равным 0, максимальное, как и следовало ожидать, равно 3 (1 + 1 + 1).

Проекция результирующего момента на некоторое направление z определяется, как и для любого момента вообще, выражением

Механический момент заряженной частицы неразрывно связан с ее магнитным моментом. Магнитные моменты, как мы знаем, взаимодействуют друг с другом. Каждому из возможных значений результирующего момента соответствует свое значение энергии взаимодействия. При воздействии на систему слабого магнитного поля связь между моментами не нарушается, и проектируется на направление В результирующий момент. В случае достаточно, сильного поля связь между моментами разрывается, и каждый из этих моментов проектируется на направление В независимо от других.

 

Принцип суперпозиции

Одним из основных положений квантовой механики является принцип суперпозиции состояний. Суть этого принципа заключается в следующем. Пусть некоторая квантовомеханическая система может находиться как в состоянии , так и в состоянии . Тогда существует состояние системы, описываемое функцией

( — произвольные комплексные числа).

Из принципа суперпозиции вытекают очень важные следствия, Рассмотрим совокупность собственных значений некоторой физической величины q и соответствующих им собственных функций:

В каждом из состояний, описываемых этими функциями, величина q имеет определенное значение: в состоянии — значение q1, в состоянии — значение q2 и т. д. Согласно принципу суперпозиции возможно состояние, описываемое функцией