Мир Евклидовой геометрии

Документальные учебные фильмы. Серия «Геометрия».



 Известно, что после смерти Александра Македонского его огромная империя распалась. При ее разделе один из греко-македонских полководцев, Птолемей, сын Лага, стал править Египтом с новопостроенным городом Александрией. Птолемей основал знаменитый музей (храм муз, покровительниц науки и искусств), ставший высшим культурным и научным учреждением, центром научной мысли эпохи эллинизма. В состав музея входила и богатейшая Александрийская библиотека, насчитывавшая около 700 000 томов (свитков). В Александрии в III — II вв. до н. э. сосредоточились знаменитые математики того времени: Евклид, Эратосфен, Аполлоний. К Александрийской математической школе относится также Архимед, хотя он жил в Сиракузах. В этот период геометрия отделяется от философии и достигает высокого уровня совершенства.
 К первым представителям Александрийской школы принадлежит Евклид который жил около 300 г. до н. э. Жизнь его мало известна. В одном из своих сочинений математик Папп, живший в Александрии в III — IV вв. н. э., изображает Евклида, как человека исключительно честного, тихого и скромного, которому были чужды гордость и эгоизм. Насколько серьезно и строго он относился к изучению математики, можно судить из следующего рассказа Прокла: царь Птолемей спросил Евклида, нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к изучению геометрии, чем его «Начала». Евклид ответил: «Нет царской дороги к геометрии!» О преданности Евклида науке говорит и другой рассказ: «Один из тех, кто только что начал учиться у Евклида геометрии, спросил Евклида, выучив первое предложение: «А что я смогу заработать, если выучу все это?» Евклид позвал раба и сказал: «Дай ему три обола, так как бедняжка хочет заработать деньги своим учением». Из трудов Евклида, кроме «Начал», до нас дошли: 1) «Данные» — задачи, решаемые с помощью геометрической алгебры; 2) «О делении фигур» — задачи на построение; 3) «Феномена» (явления) — астрономическое сочинение; 4) «Оптика». Другие произведения утеряны.
 Славу Евклиду создали его «Начала». Первые шесть книг этого труда посвящены планиметрии, VII — X — учению о числе, XI — XIII —стереометрии. Некоторые историки математики считают, что по содержанию книги I — IV, VII — IX происходят в основном от ионийской и пифагорейской школ, V и XII — от Евдокса, X и XIII — от Теэтета. Оригинальная рукопись «Начал», которая сохранялась долгое время в Александрийском музее, не дошла до нас. «Начала» распространялись в многочисленных рукописных копиях, которые на протяжении десятков и сотен лет комментировались, снабжались примечаниями и исправлениями, местами дополнялись и изменялись. Отсюда понятно, почему тексты дошедших до нас рукописных копий не совпадают полностью. Древнейшая из сохранившихся копий принадлежит IX в. «Начала» Евклида были переведены на десятки языков, изданы и переизданы в разных странах много раз. На русском языке «Начала» были изданы три раза в XVIII в. и четыре раза в XIX в. Последний и самый совершенный перевод с греческого на русский язык был осуществлен советским ученым, профессором Д. Л. Мордухай-Болтовским и опубликован в 1948—1950 гг.
 Начиная с III в. до н. э. и до середины прошлого века «Начала» считались образцом строго логического изложения геометрии. Евклид исходит из определений геометрических понятий и аксиом. Каждое геометрическое предложение формулируется в общих выражениях, затем конкретно указывается на чертеже то, что дано и что требуется доказать или построить. После доказательства следует заключение, повторяющее начальную формулировку и заканчивающееся словами: «что и требовалось доказать» или «что и требовалось сделать».
 В «Началах» Евклид придерживается аристотелевских принципов построения науки. Величайший философ древности — Аристотель жил и творил в период, непосредственно предшествовавший «Началам» Евклида. В трудах Аристотеля разъясняется сущность научных определений, аксиом и доказательств. Согласно Аристотелю, одно определение (например, квадрата) не говорит еще о существовании определяемого. Существование следует доказать. Доказательством же существования служит построение. Именно эта и другие установки Аристотеля нашли свое отражение в «Началах» Евклида. Как и Аристотель, Евклид обозначает величины буквами.
 На протяжении многих столетий до XIX в. геометрия изучалась в школах по «Началам» Евклида. Наши современные учебники имеют много общих черт с «Началами»: планиметрия и стереометрия излагаются раздельно, каждая из них примерно в том же порядке, что и у Евклида; теоремам предшествуют определения и аксиомы. Многие теоремы, изложенные в современных учебниках, по содержанию совпадают с теми, которые имеются в «Началах», методы доказательства в большинстве случаев те же. Однако некоторые различия все же имеются: в «Началах» даже не упоминается о непосредственном измерении площадей и объемов фигур, а только об их сравнении. Так, например, у Евклида нет теоремы о том, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту; имеется только теорема о том, что треугольник равновелик половине параллелограмма с тем же основанием и той же высотой. В «Началах» нигде не говорится о числе те и его приближенном значении. Евклид не вычисляет длин, площадей и объемов, а находит посредством геометрических построений соотношения между величинами геометрических фигур. Вот почему и сами слова «длина», «площадь», «объем», которые для нас означают некоторые числа, отсутствуют в «Началах». А поэтому все теоремы и их доказательства излагаются в чисто геометрической форме. Не «квадрат стороны», а «квадрат, построенный на стороне»; не «произведение двух отрезков», а «прямоугольник, построенный на двух отрезках»; «не арифметические или алгебраические действия», а «геометрические построения». Это обстоятельство часто приводит к громоздким формулировкам и способам доказательства. В «Началах» все предложения расположены в виде цепи логических рассуждений и выводов, исходя из простых аксиом и доходя постепенно до сложных теорем. Доказательства проводятся чисто умозрительно, без ссылки на глаз или опыт, прибегая лишь к логическим умозаключениям. В современных школьных учебниках геометрии в отличие от «Начал» прибегают к наглядным приемам, а также к задачам прикладного характера. Тем не менее можно утверждать, что «Начала» наложили на элементарную геометрию и ее преподавание в школе неисчезающий отпечаток.
 Особо следует отметить, что в «Началах» Евклид отразил три великих открытия, сделанных греческими математиками, а именно: теорию отношения Евдокса, теорию иррациональных Теэтета, теорию пяти правильных многогранников. Это, надо полагать, и считал главной своей целью Евклид, создавая знаменитые «Начала».










Видеотека

Яндекс.Метрика